混合图的欧拉回路定向问题。

顺便瞎说几句,有向图定欧拉回路的充要条件是每个点入度等于出度,并且图联通。无向图的话只要联通无奇点即可。

欧拉路径的确定应该是无向图联通且奇点数0个或2个,有向图忘了,好像复杂一点,这个真考到就暴力瞎搜吧。

既然每个点的度数都定了,又入度等于出度,那两者对半分,在二分图里左向右连上原图的边,左点集与s连容量为待补充的出度,右点集反之。这样如果我真可以定下来的话,就会有左边所有连边都满流。所以跑最大流看能不能到满流(就是差的总出度)即可。

 #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A<B?A=B,:;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A>B?A=B,:;}
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
x=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(isalpha(c))return x=(int)c;
while(isdigit(c))x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();return x;
}
const int N=+,M=+,INF=0x3f3f3f3f;
int w[M<<],v[M<<],Next[M<<],Head[N<<],cur[N<<],dis[N<<],tot,s,t,n,m;
inline void Addedge(int x,int y,int z){
v[++tot]=y,Next[tot]=Head[x],Head[x]=tot,w[tot]=z;
v[++tot]=x,Next[tot]=Head[y],Head[y]=tot,w[tot]=;
}
#define y v[j]
inline char bfs(){
queue<int> q;q.push(s),memset(dis,,sizeof dis),dis[s]=;
for(register int i=;i<=(n<<)+;++i)cur[i]=Head[i];
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
for(register int j=Head[x];j;j=Next[j])if(w[j]&&!dis[y]){
dis[y]=dis[x]+,q.push(y);
if(y==t)return ;
}
}
return ;
}
int dinic(int x,int flow){
if(!flow||x==t)return flow;
int rest=flow,k;
for(register int j=cur[x];j&&rest;cur[x]=j,j=Next[j])if(w[j]&&dis[y]==dis[x]+){
if(!(k=dinic(y,_min(rest,w[j]))))dis[y]=;
rest-=k,w[j]-=k,w[j^]+=k;
}
return flow-rest;
}
#undef y
int in[N],out[N],cnt[N];
int x,y,z,T,p,tmp,ans,sigma;
inline void inc(int x,int y){++out[x],++in[y];} int main(){//freopen("tmp.in","r",stdin);freopen("tmp.out","w",stdout);
read(T);while(T--){
read(n),read(m);s=(n<<)+,t=(n<<)+,p=tot=,sigma=ans=;
memset(Head,,sizeof Head),memset(in,,sizeof in),memset(out,,sizeof out),memset(cnt,,sizeof cnt);
for(register int i=;i<=m;++i){
read(x),read(y),read(z);if(x==y)continue;
z?inc(x,y):(Addedge(x,y+n,),Addedge(y,x+n,));++cnt[x],++cnt[y];
}
for(register int i=;i<=n;++i)if(cnt[i]&){
printf("impossible\n");p=;break;
}
else{
tmp=cnt[i]>>;if(tmp<in[i]||tmp<out[i]){printf("impossible\n");p=;break;}
Addedge(s,i,tmp-out[i]),Addedge(i+n,t,tmp-in[i]),sigma+=tmp-out[i];
}
if(p){
while(bfs())ans+=dinic(s,INF);
if(ans==sigma)printf("possible\n");
else printf("impossible\n");
}
}
return ;
}

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