Linear Algebra - Determinant（基础）

1. 行列式的定义

一阶行列式：

\[
\begin{vmatrix}
a_1
\end{vmatrix} = a_1
\]

二阶行列式：

\[
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
\]

三阶行列式：

\[
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix} \\
= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{21}a_{32}a_{13}
-\ a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{23}a_{32}a_{11}
\]

n阶行列式：

\[
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{matrix} = \sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots\ a_{np_n}
\]

其中 $ p_1 p_2 \cdots p_n $ 为自然数 1, 2, $ \cdots $, n 的一个排列，t为这个排列的逆序数。

2. 全排列和对换

全排列：
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）。

逆序数：
在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。

对换：
在排列中，将任意两个元素对调，其他元素保持不变，这种操作叫做对换。如果对换的两个元素相邻，叫做相邻对换。
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论1 寄排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列为偶数。

3. 行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。
性质4 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。（很奇怪，这条性质可以很明显地根据性质2和性质3推导出来，为什么不是推论？）
性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，
\[
D =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1}+a_{i1}^{'} & a_{i2}+a_{i2}^{'} & \cdots & a_{in}+a_{in}^{'} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
\]
则
\[
D =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1}^{'} & a_{i2}^{'} & \cdots & a_{in}^{'} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
\]
性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

4. 行列式展开

余子式和代数余子式

在n阶行列式中，把元素 \(a_{ij}\) 所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 \(a_{ij}\) 的余子式，记作 \(M_{ij}\) ，记
\[
A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
\]

\(A_{ij}\) 叫做元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式。

定理

引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除 \(a_{ij}\) 外都为零，那么这行列式等于 \(a_{ij}\) 与它的代数余子式的乘积。
\[
D = \begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & a_{ij} & \cdots & 0 \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix} = a_{ij}A_{ij}
\]

定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
\[
D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \\
D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj}
\]

推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
\[
a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0, (i \not= j) \\
a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{ni}A_{nj} = 0, (i \not= j)
\]

5. 克拉默法则

对于方程组：
\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\cdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \\
\end{cases}
\]
当右端的常数项 \(b_1, b_2, \cdots, b_n\) 全为0，该方程组为齐次线性方程组；
当右端的常数项 \(b_1, b_2, \cdots, b_n\) 不全为0，该方程组为非齐次线性方程组；

若方程组的系数行列式
\[
D =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix} \not= 0
\]
则，方程组有唯一解
\[
x_j = \frac{D_j}{D}
\]
其中 \(D_j\) 是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即
\[
D =
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j-1} & b_1 & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2j-1} & b_2 & a_{2j+1} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots && \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nj-1} & b_n & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
\]