[HAOI2011]Problem b&&[POI2007]Zap

题目大意：
　　$q(q\leq50000)$组询问，对于给定的$a,b,c,d(a,b,c,d\leq50000)$，求$\displaystyle\sum_{i=a}^b\sum_{j=c}^d[\gcd(i,j)=k]$。

思路：
　　首先可以利用容斥原理，将$(a,b,c,d)$的询问拆成$(b,d)$、$(a-1,d)$、$(b,c-1)$和$(a-1,c-1)$四个询问，对于询问$(n,m)$，有：
$$
\begin{align*}
&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k]\\
&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\
&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)\\
&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\sum_{d=1}^{\min(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)}\mu(d)\sum_{1\leq i\leq\lfloor\frac{n}{k}\rfloor且d|i}\sum_{1\leq i\leq\lfloor\frac{m}{k}\rfloor且d|j}1\\
&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\sum_{d=1}^{\min(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)}\mu(d)\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}{d}\rfloor\lfloor\frac{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}{d}\rfloor
\end{align*}
$$
　　$\mu$的前缀和可以预处理。因此到最后一步时，复杂度已经是$O(n)$的了，然而$q\leq50000$，还是会TLE。考虑某些时候对于某一范围内的$k$，$\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}{d}\rfloor$和$\lfloor\frac{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}{d}\rfloor$分别各自相等，因此我们可以将相等的情况一起考虑，这样总共有$O(\sqrt n)$种情况，时间复杂度$O(q\sqrt n)$。

 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 #include<algorithm>
 typedef long long int64;
 inline int getint() {
     register char ch;
     while(!isdigit(ch=getchar()));
     register int x=ch^'';
     while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<)+x)<<)+(ch^'');
     return x;
 }
 const int N=,M=;
 bool vis[N];
 int mu[N],sum[N],p[M];
 inline void sieve() {
     mu[]=;
     for(register int i=;i<N;i++) {
         if(!vis[i]) {
             p[++p[]]=i;
             mu[i]=-;
         }
         for(register int j=;j<=p[]&&i*p[j]<N;j++) {
             vis[i*p[j]]=true;
             if(i%p[j]==) {
                 mu[i*p[j]]=;
                 break;
             }
             mu[i*p[j]]=-mu[i];
         }
     }
     for(register int i=;i<N;i++) {
         sum[i]=sum[i-]+mu[i];
     }
 }
 inline int64 calc(int n,int m,const int &k) {
     int64 ret=;
     n/=k,m/=k;
     const int lim=std::min(n,m);
     for(register int i=,j;i<=lim;i=j+) {
         j=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
         ret+=(int64)(sum[j]-sum[i-])*(n/i)*(m/i);
     }
     return ret;
 }
 int main() {
     sieve();
     for(register int i=getint();i;i--) {
         const int a=getint(),b=getint(),c=getint(),d=getint(),k=getint();
         printf("%lld\n",calc(b,d,k)-calc(a-,d,k)-calc(b,c-,k)+calc(a-,c-,k));
     }
     return ;
 }