[luogu1073 Noip2009] 最优贸易（dp || SPFA+分层图）

Description

C 国有n 个大城市和m 条道路，每条道路连接这n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1 条。 C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C 国n 个城市的标号从1~ n，阿龙决定从1 号城市出发，并最终在n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。假设 C 国有5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在2 号城市以3 的价格买入水晶球，在3 号城市以5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第1 次到达5 号城市时以1 的价格买入水晶球，在第2 次到达4 号城市时以6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

Input

第一行包含 2 个正整数n 和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n 个城市的商品价格。

接下来 m 行，每行有3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，表示这条道路是城市x 到城市y 之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x 和城市y 之间的双向道路。

Output

包含1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出0。

Sample Input

5 5

4 3 5 6 1

1 2 1

1 4 1

2 3 2

3 5 1

4 5 2

Sample Output

HINT

输入数据保证 1 号城市可以到达n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市水晶球价格≤100。

Solution

这个题有很多种做法这里讲解其中两种

SPFA+分层图

首先我们明白这个题的答案实际就是联通两个点权值差的最大值

权值差简单，那么如何满足其连通性？。这时就可以利用分层图来确保联通性

分层图共三层，每一层的所有点间连边权为0的边（表示可以任意游走），第一层向第二层的对应点连-val[x]代表在x买入，第二层向第三层的对应点连一条val[x]的边代表在x处卖出

这样的话最终答案就是第三层的点n处的值。

dp

用dfs来进行dp

g[i]表示到i处最大的差价值

dfs时记录到这个点路上的最小值和前一个点的最大差价

当前答案可以这样更新:\(g[x]=max(g[pre],val[x]-min(minn,val[x]))\)

显然如果之后再搜到这个点时的最小值没以前的小并且最大差价没有以前大就没有必要搜下去了因为之后的值一定没有之前的优

有了这个剪枝后就可以轻松A题了

PS：个人认为这两种做法都很优秀qwq

Code

SPFA+分层图

//By Menteur_Hxy

#include <cmath>

#include <queue>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)

#define E(i,u) for(register int i=head[u],v;i;i=nxt[i])

using namespace std;

inline int read() {

	int x=0,f=1; char c=getchar();

	while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-f;c=getchar();}

	while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();

	return x*f;

}

const int N=100010,M=500010,INF=0x3f3f3f3f;

int n,m,cnt,T;

bool inq[N<<2];

int val[N],dis[N<<2];

int head[N<<2],to[M*3+N*2],nxt[M*3+N*2],cst[M*3+N*2];

queue <int> Q;

int id(int x,int y) {return n*x+y-n;}

void add(int x,int y,int z) {nxt[++cnt]=head[x],to[cnt]=y,cst[cnt]=z,head[x]=cnt;}

void SPFA() {

	memset(dis,128,sizeof(dis));

	Q.push(id(1,1)); dis[id(1,1)]=0;

	while(!Q.empty()) {

		int u=Q.front();Q.pop();

		inq[u]=0;

		E(i,u) if(dis[(v=to[i])]<dis[u]+cst[i]) {

			dis[v]=dis[u]+cst[i];

			if(!inq[v]) Q.push(v),inq[v]=1;

		}

	}

}

int main() {

	n=read(),m=read();

	F(i,1,n) {

		int val=read();

		add(id(1,i),id(2,i),-val),add(id(2,i),id(3,i),val);

	}

	F(i,1,m) {

		int x=read(),y=read(),z=read();

		if(z==1) F(i,1,3) add(id(i,x),id(i,y),0);

		else F(i,1,3) add(id(i,x),id(i,y),0),add(id(i,y),id(i,x),0);

	}

	SPFA();

	printf("%d",dis[id(3,n)]);

	return 0;

}

dp

//By Menteur_Hxy

#include <cmath>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)

#define E(i,u) for(register int i=head[u];i;i=nxt[i])

#define add(a,b) nxt[++cnt]=head[a],to[cnt]=b,head[a]=cnt

using namespace std;

inline int read() {

    int x=0,f=1; char c=getchar();

    while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-f;c=getchar();}

    while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();

    return x*f;

}

const int N=100010,M=500010,INF=0x3f3f3f3f;

int n,m,cnt;

int val[N],f[N],g[N];

int head[N],to[M<<1],nxt[M<<1];

void dfs(int pos,int minn,int pre) {

    bool fla=1;

    minn=min(minn,val[pos]);

    if(minn<f[pos]) f[pos]=minn,fla=0;

    int maxn=max(g[pre],val[pos]-minn);

    if(g[pos]<maxn) g[pos]=maxn,fla=0;

    if(fla) return ;

    E(i,pos) dfs(to[i],minn,pos);

}

int main() {

    n=read(),m=read();

    F(i,1,n) val[i]=read();

    F(i,1,m) {

        int x=read(),y=read(),z=read();

        if(z==1) add(x,y);

        else add(x,y),add(y,x);

    }

    memset(f,0x3f,sizeof f);

    dfs(1,INF,0);

    printf("%d",g[n]);

    return 0;

}