[Bayes] Metroplis Algorithm --> Gibbs Sampling

重要的是Gibbs的思想。

全概率分布，可以唯一地确定一个联合分布 ---- Hammersley-Clifford

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多元高斯分布

当然，这个有点复杂，考虑个简单的，二元高斯，那么超参数就是：

二元高斯联合分布：

将其中一个作为已知常数，也就是求条件分布，正好就体现了Gibbs的特性：

#initialize constants and parameters
N <- 5000               #length of chain
burn <- 1000            #burn-in length
X <- matrix(0, N, 2)    #the chain, a bivariate sample

rho <- -.75             #correlation
mu1 <- 0
mu2 <- 2
sigma1 <- 1
sigma2 <- .5
s1 <- sqrt(1-rho^2)*sigma1
s2 <- sqrt(1-rho^2)*sigma2

###### generate the chain #####

X[1, ] <- c(mu1, mu2)            #initialize

for (i in 2:N) {
  x2 <- X[i-1, 2]
  m1 <- mu1 + rho * (x2 - mu2) * sigma1/sigma2
  X[i, 1] <- rnorm(1, m1, s1)
  x1 <- X[i, 1]
  m2 <- mu2 + rho * (x1 - mu1) * sigma2/sigma1
  X[i, 2] <- rnorm(1, m2, s2)
}

b <- burn + 1
x <- X[b:N, ]

# compare sample statistics to parameters
colMeans(x)
cov(x)
cor(x)

plot(x, main="", cex=.5, xlab=bquote(X[1]),
     ylab=bquote(X[2]), ylim=range(x[,2]))

采样结果：