奶牛编号(Cowids) [NOIP模拟]

问题描述
作为一个神秘的电脑高手,Farmer John 用二进制数字标识他的奶牛。然而,他有点迷信,标识奶牛用的二进制数字,必须只含有 K 位“1”(1 <= K <= 10)。 当然,每个标识数字的首位必须为“1”。FJ 按递增的顺序,安排标识数字,开始是最小可行的标识数字(由“1”组成的一个 K 位数)。不幸的是,他没有记录下标识数字。请帮他计算,第 N 个标识数字(1 <= N <= 10^7)。

输入
第 1 行:空格隔开的两个整数,N 和 K。

输出
如题,第 N 个标识数字

输入输出样例
7 3

10110

思路

我思路真的很复杂（因为我太蒻了），不过有一些是很有价值的思想

就以样例做比方，其前几个排列是：

  111
 1011
 1101
 1110
10011
10101
10110
11001
11100

...... 

除了第一个，我们发现，把相同长度的分为一组，第i组内的大小为C(2+i,i)　　[扩展到整道题就是C( k-1+i , i )]

我们就可以通过组合数的方式快速找到第n个数属于第几组

而在某一组内如何快速找到它的位置呢？

我们就数据中长度为5的那一组分析，抛开开头的1，0的位置依次为

1 2　　1 3　　1 4　　2 3　　2 4　　3 4

也就是求C(2+i,i)中字典序大小的第m项 (设第n个数在这一组排第m项)

显然一项一项枚举是会T掉的，那我们可以怎样判断出某一位是几？

我们设总共有L个数字可选，D个位置可填，该位填的数字为i，现在填的第step位　　（例子中L=4 D=2）

那么step位填i后，后面可填的方案数为C(L-i,D-step)

如果C>=m，说明这一位就填i，下一位就从i+1开始搜

否则这一位肯定不填i，m-=C后，继续判断该位是否填i+1

这样，我们就可以以近乎O(L)地判断出来第m项了。

Code

 #include<set>
 #include<map>
 #include<queue>
 #include<stack>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define inf (1<<30)
 #define ll long long
 #define RG register int
 #define rep(i,a,b)    for(RG i=a;i<=b;i++)
 #define per(i,a,b)    for(RG i=a;i>=b;i--)
 #define maxn 1000005
 #define lim  1000002
 using namespace std;
 ll N,k,cnt,dep,numlim;
 int pri[maxn],p[maxn],vis[maxn];
 ll rec[][];
 inline ll read()
 {
     ll x=,f=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
     return x*f;
 }

 void pre()
 {
     rep(i,,lim)
     {
         if(!pri[i])    p[++cnt]=i;
         for(RG j=;j<=cnt&&i*p[j]<=lim;j++)
         {
             pri[i*p[j]]=;if(!(i%p[j]))    break;
         }
     }
 }

 ll work(ll x,ll p)
 {
     ll res=;
     while(x)    res+=x/p,x/=p;
     return res;
 }

 ll QP(ll a,ll mi)
 {
     ll ans=;
     while(mi)
     {
         if(mi&)    ans*=a;
         a*=a;
         mi>>=;
     }
     return ans;
 }

 ll cnm(ll n,ll m)
 {
     ll ans=;
     for(RG i=;p[i]<=n;i++)
     {
         ll _1=work(n,p[i]);
         ll _2=work(m,p[i]);
         ll _3=work(n-m,p[i]);
         ans*=QP(p[i],_1-_2-_3);
     }
     return ans;
 }

 void pt()
 {
     cout<<;
     rep(i,,numlim)
     {
         printf("%d",!vis[i]);
     }
     exit();
 }

 void dfs(int step,int st)
 {
     if(step>dep)
     {
         pt();
         return;
     }
     for(int i=st;i<=numlim;i++)
     {
         int nn=numlim-i,mm=dep-step,cc;
         if(rec[nn][mm])    cc=rec[nn][mm];
         else rec[nn][mm]=cc=cnm(nn,mm);
         if(cc<N){N-=cc;continue;}
         vis[i]=;
         dfs(step+,i+);
         vis[i]=;
     }
 }

 void work()
 {
     if(N==){rep(i,,k)cout<<;return;}--N;
     for(register ll i=k,j=;;++i,++j)
     {
         ll C=cnm(i,j);rec[i][j]=C;
         if(C>=N) {numlim=i,dep=j;break;}
         N-=C;
     }
     dfs(,);
 }

 void work1()
 {
     cout<<;rep(i,,N)    printf(""); exit();
 }

 int main()
 {
     N=read(),k=read();
     if(k==)    work1();
     pre();
     work();
     return ;
 }