【bzoj2038】小Z的袜子

莫队算法是一种针对询问进行分块的离线算法，如果已知区间 [ l , r ] 内的答案，并且可以在较快的时间内统计出区间 [ l-1, r ]，[ l , r+1 ] 的答案，即可使用莫队算法。

莫队复杂度证明如下：

假设有 \(O(\sqrt n)\) 个询问在不同块（块与块的间隔处）中，有 \(O(\sqrt n)\) 个询问在同一个块中。

1. 在同一个块中的所有询问，询问结束之后 l 至多移动 \(O(\sqrt n)\) 次，而 r 至多移动 \(O(n)\) 次，一共有 \(O(\sqrt n)\) 个块，因此这部分时间复杂度为\(O(n\sqrt n)\)。
2. 若 q[i] 与 q[i+1] 在不同（相邻）块中，则询问之间的 l 至多移动 \(2O(\sqrt n)\) 次，而 r 至多移动 \(O(n)\) 次，一共有 \(O(\sqrt n)\) 个这样的询问，因此这部分时间复杂度也为\(O(n\sqrt n)\)。
3. 综上所述，时间复杂度为\(O(n\sqrt n)\)。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e4+10;

struct node{int l,r,id,b;}q[maxn];
int n,m,size,cnt[maxn],a[maxn];
long long ans1[maxn],ans2[maxn];

bool cmp(const node& x,const node& y){return x.b==y.b?x.r<y.r:x.b<y.b;}

void read_and_parse(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	size=(int)sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
		q[i].b=(q[i].l-1)/size+1;
		q[i].id=i;
	}
	sort(q+1,q+m+1,cmp);
}

long long gcd(long long x,long long y){return y?gcd(y,x%y):x;}

void solve(){
	for(int i=1,lp=1,rp=0,now=0;i<=m;i++){
		while(lp<q[i].l)now-=2*cnt[a[lp]]-2,--cnt[a[lp]],++lp;
		while(rp>q[i].r)now-=2*cnt[a[rp]]-2,--cnt[a[rp]],--rp;
		while(lp>q[i].l)--lp,now+=2*cnt[a[lp]],++cnt[a[lp]];
		while(rp<q[i].r)++rp,now+=2*cnt[a[rp]],++cnt[a[rp]];
		if(q[i].l^q[i].r)ans1[q[i].id]=(long long)now,ans2[q[i].id]=(long long)(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);
		else ans1[q[i].id]=0,ans2[q[i].id]=1;
	}
	long long com;
	for(int i=1;i<=m;i++)com=gcd(ans1[i],ans2[i]),printf("%lld/%lld\n",ans1[i]/com,ans2[i]/com);
}

int main(){
	read_and_parse();
	solve();
	return 0;
}