LOJ564 613的天网 构造

题目传送门

题意：给出一个$N \times N \times N$的方块，你可以在每一个$1 \times 1 \times 1的方块上放上一个摄像头，摄像头的监视范围为6个方向的无限远距离。问最少需要多少摄像头，并给出具体方案。$N \leq 2000$

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思维题

样例中的放置方法对我们是很有启发的

样例中是这样的一个$2 \times 2 \times 2$的正方体（图不好看qwq）

对于选择的$(1,1,1)$点，它的控制范围是

图真的只能凑合看qwq

我们可以考虑将$N \times N \times N$的方块分为这样的八个部分，其中左上角的正方形代替$2 \times 2 \times 2$的立方体中$(1,1,1)$的作用，右下角的正方形代替$2 \times 2 \times 2$的立方体中$(2,2,2)$的作用

接下来我们就要考虑如何做到让一个正方形能够像$(1,1,1)$一样影响到左边、后面、下面的所有正方形

我们先单独考虑影响后面，因为这样子好讲

考虑如果我们只有一个面（也就是在二维空间上）要怎么放才会最好
肯定是下面这样

可是如果我们每一层都这么放肯定是无法满足条件的

所以我们考虑在接下来每一层在上一层的基础上每个往下移一格

也就是说第二层与第三层像下面的左图和右图一样放置

就可以满足要求了

利用一些空间想象能力可以想到：对于右边和下面来说都是满足条件的，所以我们只需要$O(\text{边长}^2)$就可以构造一个满足条件的正方体了。

设某一个正方形边长为$x$，那么我们总共需要的摄像头就是$x^2+(N-x)^2$，可以知道$x=\frac{N}{2}$时使用的摄像头最少，为$(\frac{N}{2})^2+(\frac{N + 1}{2})^2$

方案就像上面一样输出就行了，注意输出优化

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 ];
 inline void print(int x , char c = '\n'){
     ;
     while(x){
         output[dirN++] = x % ;
         x /= ;
     }
     while(dirN)
         putchar(output[--dirN] + );
     putchar(c);
 }

 int main()
 {
     int N;
     cin >> N;
     print((N / ) * (N / ) + ((N + ) / ) * ((N + ) / ));
      ; i <= N /  ; i++)
          ; j <= N /  ; j++){
             print(i , ' ');
             print(j , ' ');
             print((i + j - ) % (N / ) + );
         }
      ; i <= (N + ) /  ; i++)
          ; j <= (N + ) /  ; j++){
             print(N - i +  , ' ');
             print(N - j +  , ' ');
             print(N - (i + j - ) % ((N + ) / ));
         }
      ;
 }