大数的快速幂模 Python实现

要求

实现模幂算法，通过服务器的检验。

访问http://2**.207.12.156:9012/step_04服务器会给你10个问题，每个问题包含三个数(a,b,c)，请给出a^b%c的值。返回值写入字段ans，10个数字用逗号,隔开，提交到http://2**.207.12.156:9012/step_04

提示：注意逗号必须是英文逗号。

{"is_success": true, "questions": "[[1336, 9084, 350830992845], [450394869827, 717234262, 9791], [2136, 938408201856, 612752924963], [6026, 754904536976, 5916], [787296602, 305437915, 661501280], [864745305, 6963, 484799723855], [4165, 110707859589, 102613824], [398189032, 723455558974, 794842765789], [974657695, 138141973218, 760159826372], [9034, 7765, 437523243]]"}

Python程序实现

import requests as re
import time
def fastModular(x): #快速幂的实现
	"""x[0] = base """
	"""x[1] = power"""
	"""x[2] = modulus"""
	result = 1
	while(x[1] > 0):
		if(x[1] & 1): # 位运算加快判断奇偶
			result = result * x[0] % x[2]
		x[1] = int(x[1]/2)
		x[0] = x[0] * x[0] % x[2]
	return result

answer = ''
getHtml = re.get("http://2**.207.12.156:9012/step_04/")

start = time.process_time()					# 运算时间戳
for i in eval(getHtml.json()['questions']): # 将带有'[]'符号的字符串转换成列表
	answer += str(fastModular(i)) + ','
end = time.process_time()					# 运算时间戳

param = {'ans':answer[:-1]}
print(f"Runing time is { end- start} sec")
getHtml = re.get("http://2**.207.12.156:9012/step_04/",params=param)
print(getHtml.text)

>>>
runing time is 0.0 s
{"is_success": true, "message": "please visit http://2**.207.12.156:9012/context/eb63fffd85c01a0a5d8f3cadea18cf56"}
>>>

直接运行即可获得下一步链接答案!!

How can we calculate A^B mod C quickly if B is a power of 2 ?

Using modular multiplication rules:

i.e. A^2 mod C = (A * A) mod C = ((A mod C) * (A mod C)) mod C

a^b % c = (a % c)^b % c

(a * b * c) % d = {(a % d) * (c % d) * (b % d)} % d

a^5 % c = (a % c)^5 % c = {(a % c) * (a % c) * (a % c) * (a % c) * (a % c)} % c

一种算法是利用{(a % c) * (a % c) * (a % c) * (a % c) * (a % c)} % c，利用正常求幂次的方法，将变量进去迭代。result = result * a % c这样会迭代5次，也就是幂次的运算时间复杂度。

注：迭代运算{（result % c） * （a % c）} % c == result * a % c

还有一种就是利用底数和幂次的关系，将幂次除以2，底数平方倍。这个数还是不变的。再加上利用引理就会方便很多。log(power)的时间复杂度。

4^20 mod 11 = 1099511627776 % 11 =1

= 16^10 mod 11 = (16 mod 11)^10 = 5 ^ 10 mod 11

= 25 ^ 5 mod 11 = (25 mod 11)^5 = 3 ^ 5 mod 11

9 ^ 2.5 = 9 ^ 2 * 9^(1/2) = 9 ^ 2 * 3 mod 11

上面这个需要平方3变9 再开2次方 9变3，得到结果。简化后我们发现这种方法可以归结为，当幂次变成奇数的时候，我们将奇数减一，除以二，底数平方，并乘以底数 进行计算。结果是一样的。这样想更简单。也方便程序实现

3 ^ 5 mod 11 = 9 ^ 2 * 3 mod 11 ( 5-1=4 ,4/2=2 )

= (9 mod 11)^2 mod 11 = 2 ^ 2 *3 mod 11

= 4 ^ 1 * 3 mod 11 = (4 mod 11)^1 * 3 mod 11 = 7^1 * 3 mod 11

= 49^0 *7 *3 mod 11 =21 % 11

=1

奇数减一分成偶数次幂那部分最终都会到0次，结果为1。而分出去的一次幂就是决定结果的关键因素。