第十五个知识点:RSA-OAEP和ECIES的密钥生成,加密和解密

1.RSA-OAEP

RSA-OAEP是RSA加密方案和OAEP填充方案的同时使用.现实世界中它们同时使用.(这里介绍的只是"textbook rsa-oaep")

1.1 RSA[1]

RSA是一种最早的公钥加密场景.它基于RSA问题的困难性(之前的博客说过).这里重新复习一下RSA的原理.

密钥生成:

生成两个大素数$p,q$同时计算模数$N=pq$.
选择一个随机的数$e \in Z_N .$S.T.$gcd( \phi(N),e)=1$,其中$gcd$是最大公约数.
因为$\phi(N)$和$e$是互质的$(gcd( \phi (N),e=1)$.我们能用XGCD寻找e的乘法逆元d,$\phi (N):d=e^{-1} mod \space \phi(N)$.
我们把(N,e)当做公钥,同时把(p,q,d)当做私钥.

加密:

把信息解释成一个整数$m \in Z_N$.
计算$c=m^e \space mod \space N$.
输出c作为密文

解密

在计算密文之前,我们先计算几个固定的值,$d \mod p-1,q^{-1} \mod p,d \mod q-1,p^{-1} \mod q$.
然后计算$m = ((c^{d \mod p-1})q(q^{-1} \mod p)+(c^{d \mod q-1} \mod q)p(p^{-1} \mod q))$
输出m

注意这里用了CRT的方法计算m.使用CRT可以提升计算性能.

1.2 OAEP[2]

OAEP全称为Optimal Asymmetric Encryption Padding.这是一种非对称加密填充场景.它给确定性的算法带来了随机性.当使用RSA的时候,结合的场景被证明是IND-CCA安全的(实际上并不是,可以找本书好好看看OAEP,OAEP+,SSL,TLS,它们之间的攻击防御还是挺有意思的,这里描述的只是一个简化的方案).

让

$f$是k-bit单向函数,$f:\{0,1\}^k \rightarrow \{0,1\}^k$
m是n-bit消息
$G,H$是两个伪随机函数:$G:\{0,1\}^s \rightarrow \{0,1\}^{n+t}$同时$H:\{0,1\}^{n+t} \rightarrow \{0,1\}^s$,其中$k = n+t+s$
$R$是s-bit的随机数$R \leftarrow \{0,1\}^s$

加密:

我们计算k-bit密文用下面的方式:

\[Encrypt(m) = f_{pk}(\{(m||0^t) \oplus G(R) \}||\{R \oplus H((m||0^t) \oplus G(R))\})
\]

解密:

使用单向函数,我们能恢复这个值

\[f_{sk}(c) = \{(m||0^t) \oplus G(R) \}||\{R \oplus H((m||0^t) \oplus G(R))\}
\]

然后通过计算我们就能恢复m的值.实际计算中,我们替换$f_{sk},f_{pk}$变成RSA中的加密函数.

2.ECIES(读Dan Bonech的书啊,说的太明白了)

Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme 是ElGamal公钥加密系统在椭圆曲线密码学中的应用.

简单来说,我们用下面的范式来定义椭圆曲线:

$E:y^2=x^3+ax+b$

为了简化问题,我们仅仅讨论曲线$E$在素数域$F_q$中,使用一个基点$P$,有一个素数阶$n$.然后我们定义建一个佳话的域参数:$D=(q,a,b,P,n)$,其中

$q$是一个素数域的阶.比如$q$是一个素数,$x,y,a,b$在{0,1,2,...,q-1}
a,b是椭圆曲线的系数
$P$是曲线上一个点
$n$是$P$的素数阶.例如,$P$的加法能在曲线上定义$n$个点,其中$n$是一个素数.

这些域参数都是公开的.

ECIES总是使用一个对称加密场景和一个MAC(消息认证码)场景.我们定义他们为{$Enc_k(m)=c,Dec_k(c)=m$}同时{$MAC_k(m) = t,Very(t,m)=T/F$}

我们定义$KDF(s_1,s_2)=(k_{enc},k_{MAC})$.为`Key Derivation 有两个种子$s_1,s_2$.输出一对加密密钥和MAC密钥.

然后我们描述这个场景:

密钥生成

选择一个随机整数$d \in [1,n-1]$
选择一个新的点$Q=dP$
输出Q作为公钥,d是私钥

加密

选择一个随机整数$k \in [1,n-1]$
计算$R=kP,Z=kQ$.如果$Z=\infty$,那么我们重新选择一个k
生成$(k_1,k_2)=KDF(x_Z,R)$.其中$x_Z$是$Z$的x坐标.
计算$c=Enc_{K_1}(M)$,$t=MAC_{k_2}(c)$
输出$(R,c,t)$作为密文

解密

反向看之即可

因为$z^{'}=dR=dkP=kQ=Z$.因此KDF()的种子事实上是相同的.因此，接收方可以生成与发送方相同的密钥并解密消息。然而，我对ECC的了解非常有限。对于那些感兴趣的人，你可以在[4]中找到更多。

References:

[1] http://people.csail.mit.edu/rivest/Rsapaper.pdf

[2] http://tools.ietf.org/html/rfc2437

[3] http://www.shoup.net/papers/iso-2_1.pdf

[4] http://www.springer.com/computer/security+and+cryptology/book/978-0-387-95273-4