「题解」CF1468M Similar Sets

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题目

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题意简述

给定 $n$ 个集合 $S_{1\sim n}$，问是否存在 $i,j$ 满足 $i\neq j$ 且 $\left\lvert S_i\cap S_j\right\rvert\geq 2$。

若存在，输出 $i,j$（任意一对都可）；否则输出 $-1$。

$n\leq 10^5$，$\sum\limits_{i=1}^n\left\lvert S_i\right\rvert\leq 2\times 10^5$。

题解

图论转化

直接思考有点难，考虑经典套路，我们把这个问题转化成二分图模型。

对于一个集合 $S_i$，我们将其构造为一个左部点 $i$。

对于一个元素 $x$，我们将其构造为一个右部点 $x$。

如果 $x\in S_i$，那么图上有一条边 $(i,x)$。

那么 $\left\lvert S_i\cap S_j\right\rvert\geq 2$，就对应有至少两个右部点连到了同样的两个点。

换句话说，符合条件的答案对应了图中的一个四元环。

并且，这张图的度数总和为 $\sum\limits_{i=1}^n\left\lvert S_i\right\rvert$。

按点的度数分治

现在我们要解决的问题就是一个二分图内是否存在四元环。

这同样是一个简单的问题，具体地，我们考虑按点的度数分治：

找到一个非负整数 $B$；
称度数 $\geq B$ 的为大点，度数 $< B$ 的为小点；
对于大点，其个数为 $\Theta\left(\frac{\sum\texttt{deg}}{B}\right)$。

我们对于每个大左部点，标记其所有相连点，如果存在另一个左部点，其连接的标记点个数 $\geq 2$，那么存在一个四元环。

我们对于每个小左部点，我们枚举其对应的所有的右部点对，然后对于每一个点对，我们枚举其最小值，然后标记其对应点，如果一个点在之前被标记过，那么就存在一个四元环。

根据上面的分析，我们得出算法的时间复杂度为 $\Theta\left(\frac{\sum\texttt{deg}}{B}\sum\texttt{deg}+B\sum\texttt{deg}\right)$。

理论分析可以得出，最优的时间复杂度为 $\Theta\left(\sum\texttt{deg}\sqrt{\sum\texttt{deg}}\right)$。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define reg register

typedef long long ll;

#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)

static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;

#define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)

#define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)

static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;

inline int read(void){

	reg char ch=getchar();

	reg int res=0;

	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();

	while(isdigit(ch)) res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();

	return res;

}

inline void write(reg int x){

	static char buf[32];

	reg int p=-1;

	if(x<0) x=-x,putchar('-');

	if(!x) putchar('0');

	else while(x) buf[++p]=(x%10)^'0',x/=10;

	while(~p) putchar(buf[p--]);

	return;

}

const int MAXN=1e5+5;

const int MAXS=2e5+5;

struct Event{

	int x,y,id;

	inline Event(reg int x=0,reg int y=0,reg int id=0):x(x),y(y),id(id){

		return;

	}

};

struct Link{

	int val,id;

	inline Link(reg int val=0,reg int id=0):val(val),id(id){

		return;

	}

};

int n;

inline pair<int,int> solve(void){

	n=read();

	reg int sum=0;

	vector<vector<int>> S(n+1);

	vector<int> V;

	for(reg int i=1;i<=n;++i){

		reg int k=read();

		sum+=k;

		S[i].resize(k);

		for(reg int j=0;j<k;++j)

			S[i][j]=read(),V.push_back(S[i][j]);

	}

	sort(V.begin(),V.end()),V.erase(unique(V.begin(),V.end()),V.end());

	for(reg int i=1;i<=n;++i)

		for(int& x:S[i])

			x=lower_bound(V.begin(),V.end(),x)-V.begin();

	reg int m=V.size();

	reg size_t B=sqrt(sum/16);

	vector<int> Big,Sma;

	for(int i=1;i<=n;++i)

		if(S[i].size()>=B)

			Big.push_back(i);

		else

			Sma.push_back(i);

	vector<bool> vis(m);

	vis.resize(m);

	for(reg int i=0,siz=Big.size();i<siz;++i){

		int u=Big[i];

		for(int x:S[u])

			vis[x]=true;

		for(reg int j=1;j<=n;++j){

			int v=j;

			if(u!=v){

				reg int cnt=0;

				for(int x:S[v])

					if(vis[x])

						++cnt;

				if(cnt>=2)

					return make_pair(u,v);

			}

		}

		for(int x:S[u])

			vis[x]=false;

	}

	vector<Event> E;

	for(reg int i=0,siz=Sma.size();i<siz;++i){

		reg int u=Sma[i];

		for(reg int j=0,siz=S[u].size();j<siz;++j)

			for(reg int k=j+1;k<siz;++k)

				E.push_back(Event(S[u][j],S[u][k],u));

	}

	vector<vector<Link>> G;

	G.resize(m);

	for(Event e:E)

		if(e.x<e.y)

			G[e.x].push_back(Link(e.y,e.id));

		else

			G[e.y].push_back(Link(e.x,e.id));

	vector<int> from;

	from.resize(m);

	for(reg int i=0;i<m;++i){

		for(Link L:G[i])

			if(!from[L.val])

				from[L.val]=L.id;

			else

				return make_pair(from[L.val],L.id);

		for(Link L:G[i])

			from[L.val]=0;

	}

	return make_pair(-1,-1);

}

int main(void){

	reg int t=read();

	while(t--){

		static pair<int,int> ans;

		ans=solve();

		if(ans.first==-1)

			write(-1),putchar('\n');

		else

			write(ans.first),putchar(' '),write(ans.second),putchar('\n');

	}

	flush();

	return 0;

}