gcd|最大公约数|欧几里得算法|欧几里得算法证明 一文说明白

gcd

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为 $ gcd(a,b) $ ，同样的，a，b，c的最大公约数记为 $ gcd(a,b,c) $ ，多个整数的最大公约数也有同样的记号。

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欧几里得算法

欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里得算法。

扩展欧几里得算法可用于RSA加密等领域。

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：

1997 ÷ 615 = 3 (余 152)
615 ÷ 152 = 4(余7)
152 ÷ 7 = 21(余5)
7 ÷ 5 = 1 (余2)
5 ÷ 2 = 2 (余1)
2 ÷ 1 = 2 (余0)
至此，最大公约数为1

以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

部分选自百度百科

欧几里得算法 证明

设有 $ gcd(a,b)=d(a>b) $ ，则 $ d|a $ 、$ d|b $（也就是d既是a的因数也是b的因数）。

设有 $ k=\lfloor\frac{a}{b}\rfloor $ 、 $ r=a \mod b $，则 $ a=bk+r $。

举个栗子，因为 $ a = 5b+1 = 5 \times 2+1 = 11 $ ，则

\[\begin{cases}
k=5\\
r=1
\end{cases}
\]

因为 $ d|b $，所以 $ d|kb $（请感性理解）

因为 $ d|kb+r $ （也就是 $ d|a $ ）

所以 $ d|r $ （kb是d的倍数，kb+r也是d的倍数，那么r也就是d的倍数了）

上面整理一下就是 $ d|b $ 且 $ d|r $

所以 $ gcd(b,r)=d $ 了……吗？

并不是，应该是 $ gcd(b,r) \geq d $ （自己可以举个例子）。

我们希望能证明 $ gcd(a,b)=gcd(b,r)=gcd(b,a\mod b) $

所以我们用反证法去证 $ gcd(b,r)>d $ 是不存在的。

反证 $ gcd(b,r)>d $ 是不存在的

设有 $ gcd(b,r)=D>d $，则 $ D|b $ 且 $ D|r $，所以 $ D|kb $。（这里和上面差不多）

因为 $ D|kb $ 而且 $ D|r $，所以 $ D|kb+r $ （转换一下得 $ D|a $ ）。现在我们有了 $ D|a $ $ D|b $ ，所以 $ gcd(a,b) \geq D $。

根据最开始说 $ gcd(a,b)=d $ ，所以 $ gcd(a,b)=d \geq D $ ，与 \(D>d\) 矛盾了。

故只有 \(D=d\) 时该假设成立，即 \(gcd(b,r)=d\)

所以\(gcd(a,b)=gcd(b,r)=d\)

化简一下就可以完结撒花： \(gcd(a,b)=gcd(b,a\mod b)\)

……了吗？

我们要设定一个限制条件，即 \(gcd(a,0)=a\)

为什么一定是\(gcd(a,0)=a\)

倒推上去

\(gcd(ak,a)=gcd(a,0)\)

此时ak与a的最大公约数即为a，故\(gcd(a,0)=a\)

最终就有：

\[gcd(a,b) = \begin{cases}
a &\text{如果} b=0\\
gcd(b,a\mod b) &\text{如果} b\neq 0
\end{cases}
\]

欧几里得算法求 gcd 代码

template<typename T>
T gcd(T a,T b){
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}