[学习笔记] 2-SAT

引入

有 \(n\) 个变量 \(x_1 \cdots x_n\)，每个变量的取值范围为 \(\{0,1\}\)，另有 \(m\) 个条件，每个条件都是对其中两个变量的取值限制，形如要么 \(x_i = 0/1\) 要么 \(x_j = 0/1\)。求是否存在 \(n\) 个变量的合法赋值。

这样的问题就被称为 \(\text{2-SAT}\) 问题。

求解

首先将每个变量拆成两个点 \(x_i = 0,x_i = 1\)，因为一个变量也只有两种取值。

然后对这些点连边，每条边 \((u,v)\) 的含义为：选了 \(u\) 就必须选 \(v\)。对于一个条件：要么 \(x_i = p\) 成立，要么 \(x_j = q\) 成立。我们就将 \(x_i = p\) 向 \(x_j = \lnot q\) 连一条有向边，意为 \(x_i = p\) 成立了，\(x_j = q\) 就不能成立；还需要将 \(x_j = q\) 向 \(x_i = \lnot p\) 连一条有向边，意为 \(x_j = q\) 成立了，\(x_i = p\) 就不能成立。

图建好后，就得到了很多有向图，那么对这些图分别求一次强联通分量，根据边的定义，我们知道，每个强联通分量内的点，要么都成立，要么就都不成立。如果 \(x_i = p\) 和 \(x_i = \lnot p\) 点处于同一个强联通分量内，那么就矛盾了，无解，反之则有解。

对于有解的情况，我们希望能构造出一种解。在有解的情况下，一个变量的两个取值点可能会间接影响，例如 \(x_i = 0\) 成立可能会推导出 \(x_i = 1\) 成立。解决方案就是对 SCC 缩点后的图跑一遍拓扑（因为有解所以无环），每个变量取拓扑序最大的那个取值点，如果取了小的那个，那么他就会将大的推导出来。

但在实际中，我们不需要再跑一遍拓扑，因为在做强联通分量缩点的过程中，我们已经将拓扑序求出来了，就体现在 \(col\) 染色数组中，只不过是反序，所以取 \(col\) 值小的那个即可。

应用

对称性

\(\text{2-SAT}\) 具有对称性。若存在一条边 \((u,v)\)，那么也需要存在 \((\lnot v,\lnot u)\) 这条边，因为原命题和其逆否命题真假相同。

构造解

见前文。

特殊边

若 \(p\) 不能取，那么就把 \(p\) 向 \(\lnot p\) 连一条边。这条边也应当满足对称性。

题

\(\text{2-SAT}\) 的题多半不会给你很裸的的条件，需要你自行推导成那种形式。

暂无。