Solution -「洛谷 P6287」「COCI 2016-2017」Mag

Description

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定义一条链的价值为链上点权乘积除以节链上点数，求一条价值最小的链。

Solution

结论：答案链上最多包含一个 \(2\)（其余全为 \(1\)），并且不在链的两端点。

证明：我们问题分成两个 \(\texttt{pass}\)。

• \(\texttt{pass 1}\)：\(\forall u,s.t.x_{u}\ge2\)。

答案显然为 \(\min\{x_{u}\},u\in V\)。

• \(\texttt{pass 2}\)：\(\exists E'\subset E,s.t.x_{u}=1,u\in E'\wedge x_{v}\ge2,v\in E\setminus E'\)。

• • 我们设我们选出的链为大概这样的造型：

\[1\rightarrow1\rightarrow\cdots\rightarrow X\rightarrow1\rightarrow1\cdots
\]

即一堆 \(1\) 中夹了一个 \(X\)。

我们设 \(X\) 左边有 \(l\) 个节点，右边有 \(r\) 个节点。

则价值为整条链 \(\frac{X}{l+r+1}\)，左边 \(\frac{1}{l}\)，右边 \(\frac{1}{r}\)。

为方便我们这里设 \(l<r\)。

那么左边的价值一定大于右边。

这里假设 \(\frac{1}{r}>\frac{X}{l+r+1}\)，则有 \(X<\frac{l+1}{r}+1\)，又 \(r\ge l+1\)，所以 \(\frac{l+1}{r}\le1\)。（反之可以证伪，懒得写了 QwQ）

所以有 \(X\le2\)。

又 \(X\neq1\)，所以 \(X=2\)。

• • 我们设我们选出的链为大概这样的造型：

\[1\rightarrow1\rightarrow\cdots\rightarrow X\rightarrow1\rightarrow\cdots\rightarrow1\rightarrow Y\rightarrow1\cdots
\]

即一堆 \(1\) 中夹了一个 \(X\) 一个 \(Y\)。

这里我们可以把 \(Y\) 以前当成 \(\texttt{pass 2}\) 的第一个类型，设其共有 \(N\) 个数。

那么假设我们加入 \(Y\) 更优，即有 \(\frac{XY}{N+1}<\frac{X}{N}\)，则有 \(NY<N+1\)，由于 \(Y\neq1\)，所以加入 \(Y\) 是更劣的。

后面的同理就可以推广了。

于是得证 QwQ。

然后我们就可以 DP 了。

设 \(f_{u,0/1}\) 表示节点 \(u\) 权值为的情况下最优答案。

转移就分类讨论一下：

• \(x_{u}=1\)

\[\begin{cases}
f_{u,0}=\max\{f_{v,0}\}+1 \\
f_{u,1}=\max\{f_{v,1}\}+1
\end{cases}
\]

• \(x_{u}=2\)

\[f_{u,1}=\max\{f_{v,0}\}+1
\]

答案也需要分类讨论（这里设 \(x,y\in\text{son}(u)\)）：

• \(x_{u}=1\)

答案为 \(\frac{1}{\max\{f_{x,0}+f_{y,0}+1\}}\)，以及 \(\frac{2}{\max\{f_{x,0}+f_{y,1}\}+1}\)。

• \(x_{u}=2\)

答案为 \(\frac{2}{\max\{f_{x,0}+f_{y,0}+1\}}\)。

用四个变量维护最大、次大的 \(f_{0},f_{1}\) 即可。

#include <cstdio>

const int MAXN = 1e6 + 5;

int rint () {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar ();
	for ( ; c < '0' || c > '9'; c = getchar () )	f = c == '-' ? -f : f;
	for ( ; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar () )	x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( c & 15 );
	return x * f;
}

template<typename _T>
void wint ( _T x ) {
	if ( x < 0 )	putchar ( '-' ), x = ~ x + 1;
	if ( x > 9 )	wint ( x / 10 );
	putchar ( x % 10 ^ '0' );
}

template<typename _T> _T MIN ( const _T x, const _T y ) { return x > y ? y : x; }

struct starS {
	int to, nx;
	starS ( int T = 0, int N = 0 ) { to = T, nx = N; }
} as[MAXN * 2];

int n, cnt, Up = 1e9, Dn = 1, mnMg = 1e9, a[MAXN], f[MAXN][2], bgin[MAXN];

void pushEdge ( const int u, const int v ) { as[++ cnt] = starS ( v, bgin[u] ); bgin[u] = cnt; }

void checkUpt ( const int x, const int y ) { if ( Up * y > Dn * x )	Up = x, Dn = y; }

void dfs ( const int u, const int lst ) {
	int mx0 = 0, se0 = 0, mx1 = 0, se1 = 0;
	for ( int i = bgin[u]; i; i = as[i].nx ) {
		int v = as[i].to;
		if ( v == lst )	continue;
		dfs ( v, u );
		if ( f[v][0] > f[mx0][0] )	se0 = mx0, mx0 = v;
		else if ( f[v][0] > f[se0][0] )	se0 = v;
		if ( f[v][1] > f[mx1][1] )	se1 = mx1, mx1 = v;
		else if ( f[v][1] > f[se1][1] )	se1 = v;
	}
	if ( a[u] == 1 ) {
		f[u][0] = f[mx0][0] + 1;
		checkUpt ( 1, f[mx0][0] + f[se0][0] + 1 );
		if ( ! mx1 )	return;
		f[u][1] = f[mx1][1] + 1;
		if ( mx0 != mx1 )	checkUpt ( 2, f[mx0][0] + f[mx1][1] + 1 );
		else {
			checkUpt ( 2, f[se0][0] + f[mx1][1] + 1 );
			if ( se1 )	checkUpt ( 2, f[mx0][0] + f[se1][1] + 1 );
		}
	}
	else if ( a[u] == 2 )	f[u][1] = f[mx0][0] + 1, checkUpt ( 2, f[mx0][0] + f[se0][0] + 1 );
}

int main () {
	n = rint ();
	for ( int i = 1, u, v; i < n; ++ i ) {
		u = rint (), v = rint ();
		pushEdge ( u, v ), pushEdge ( v, u );
	}
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i )	a[i] = rint (), mnMg = MIN ( mnMg, a[i] );
	if ( mnMg > 1 )	wint ( mnMg ), putchar ( '/' ), wint ( 1 ), putchar ( '\n' );
	else	dfs ( 1, 0 ), wint ( Up ), putchar ( '/' ), wint ( Dn ), putchar ( '\n' );
	return 0;
}