【Foreign】光 [莫比乌斯反演]

光

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Description

　　天猫有一个长方形盒子，长宽分别为A，B。
　　这个长方形盒子的内壁全部是镜面。
　　天猫在这个盒子的左下方放了一个激光灯。
　　这个灯可以照向盒子内的任意角度。
　　现在天猫想要打开这个激光灯，但是他想让光线按照如下规则照射：
　　　　1.这束光必须恰好打到盒子边缘反射D次，并且不能碰到任意一个角落（除了出发点以及结束点）。
　　　　2.这束光必须到达盒子右上角，并且结束反射。
　　天猫想要知道，所有合法的光线路线的长度平方和是多少。
　　作为一个资深OIer，你应该知道输出要对10^9+7取模。

Input

　　一行三个数，表示A、B、D。

Output

　　一个数，表示路径平方和。

Sample Input

　　3 3 2

Sample Output

　　180

HINT

　　D<=10^9, A,B<=10^6

Solution

　　首先，我们注意到若一束光在一个平面反射，相当于镜面一侧的物体对称到镜面另一侧，而光线穿过镜面照到物体成的虚像上。
　　所以，我们可以认为：有一个D∗D的网格，需要在这个网格上面找到一点(x,y)，要满足x+y−2 = D，这样的话，我们把(0,0)与(x,y)连接起来，连线所经过的网格边就是镜面反射时经过的边。也就是说，任意的合法方案与整数对(x,y)是一一对应的。
　　注意，由于在反射过程中，不能碰到网格的角落，所以应该满足(0,0)与(x,y)连线上没有其他整点，也就是gcd(x,y)=1，即gcd(x,D+2)=1。

　　然后用莫比乌斯反演推一波式子，最后发现要用暴力解决qaq。

　　

Code

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<bitset>
 using namespace std;
 typedef long long s64;

 const int ONE = ;
 const int MOD = 1e9 + ;
 const int Niyu = ;

 s64 A, B, D;
 int P[ONE],num;
 int vis[ONE];
 s64 Ans;

 int get()
 {
         int res=,Q=;char c;
         while( (c=getchar())< || c> )
         if(c=='-')Q=-;
         res=c-;
         while( (c=getchar())>= && c<= )
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }

 void Factor(int x)
 {
         for(int i=; i*i<=x; i++)
         if(x % i == )
         {
             P[++num] = i;
             while(x % i == ) x /= i;
         }
         if(x != ) P[++num] = x;
 }

 int Calc(int n)
 {
         return (s64)n * (n+) % MOD * (*n+) % MOD * Niyu % MOD;
 }

 void Deal()
 {
         int d = , N = ;
         for(int i=; i<=num; i++)
             if(vis[i]) d = (s64)d * P[i] % MOD ,N++;
         N = N &  ? MOD- : ;
         Ans = Ans + (s64)N % MOD * d % MOD * d % MOD * Calc((D+) / d) % MOD,
         Ans %= MOD;
 }

 void Dfs(int T)
 {
         if(T > num) {Deal(); return;}
         vis[T] = ; Dfs(T+);
         vis[T] = ; Dfs(T+);
 }

 int main()
 {
         cin>>A>>B>>D;
         if(D & ) {printf(""); return ;}
         Factor(D + );
         Dfs();
         printf("%d", (s64)(A * A % MOD + B * B % MOD) % MOD * Ans % MOD);
 }