有关二次离线和 Yuno loves sqrt technology II

二次离线

前置技能

• 莫队
• 修改查询 \(O(\sqrt n )-O(1)\) 平衡

概念

• 考虑朴素莫队离线询问，过程中维护信息从 \([l,r]\) 扩展为 \([l\pm 1,r\pm 1]\) ，本质上就是要询问共 \(O(n\sqrt m)\) 次形如第 \(r\) 个元素与区间 \([l,r-1]\) 产生的贡献。
• 当然，如果这个贡献可以差分为 \([1,r-1]\) 与 \(r\) 的贡献和 \([1,l-1]\) 与 \(r\) 的贡献，那么就可以尝试使用二次离线了。
• 具体的，我们发现形如 \([1,r-1]\) 与 \(r\) 的贡献只有 \(n\) 个，可以直接尝试 \(O(n\sqrt n)\) 或 \(O(\ poly(n)\ \log n)\) 等复杂度处理，如果嫌麻烦，也可以放到下一段类似的处理。
• 然后对于 \(O(n\sqrt m)\) 次询问形如 \([1,k]\) 与 \(r\) 的贡献，我们考虑扫描线，每次从 \([1,k]\) 扩展为 \([1,k+1]\) ，这样一共为 \(n\) 次修改，而在过程中我们要进行 \(O(n\sqrt m)\) 询问。而我们可以调整我们维护数据结构的方式，使得每次扩展的复杂度为 \(O( \sqrt m)\)，而询问的复杂度为 \(O(1)\)，从而达到平衡复杂度到 \(O(n\sqrt m)\) 级别。

优势

• 莫队时从 \([l,r]\) 扩展为 \([l\pm 1,r\pm 1]\) 有的时候并不能做到 \(O(1)\)，这是因为扩展一次需要查询一次、修改一次，这样修改和查询的次数都为 \(O(n\sqrt m)\)， 本身就不太好平衡。
• 二次离线可以通过差分将莫队扩展区间变成总共 \(O(n)\) 次修改，\(O(n\sqrt m)\) 次查询，就可以平衡了。

扩展

• 在时间复杂度为 \(O(n \sqrt m)\) 的情况下，其空间复杂度也可以 \(O(n+m)\) 。
• 首先要求 \([1,r-1]\) 与 \(r\) 的贡献和 \([1,l-1]\) 与 \(r\) 的贡献中 \([1,r-1]\) 与 \(r\) 必须预处理，然后所有 \([1,l-1]\) 与 \(r\) 的贡献对应到每次莫队区间扩展都对应着固定 \(l\)，\(r\) 是一个连续的区间，变成 \(O(m)\) 个区间，可以线性空间存储，扫描线时每次 \(O(区间长度)\) 询问即可，总共会询问 \(O(n\sqrt m)\) 次，空间线性。

例题

• 洛谷P5047 Yuno loves sqrt technology II
• 离线求区间逆序对，空间 \(32MB\)
• 具体题解就不写了，具体可以参考代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define debug(x) cerr<<#x<<" = "<<x
#define sp <<"  "
#define el <<endl
#define fgx cerr<<" -------------------------------------------------------- "<<endl
#define LL long long
#define DB double
#define LDB long double
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
inline int read(){
	int nm=0; bool fh=true; char cw=getchar();
	for(;!isdigit(cw);cw=getchar()) fh^=(cw=='-');
	for(;isdigit(cw);cw=getchar()) nm=nm*10+(cw-'0');
	return fh?nm:-nm;
}
#define M 100020
#define B 330
int n,m,c[M],H[M],be[M],L[620],R[620],tot,tt1,tt2,d1,d2;
LL pr[M],sf[M],S[M],ans[M],cur,A[M],W[620]; pii T[M];
inline void add(int k,int dt){for(;k<=n;k+=(k&-k))c[k]+=dt;}
inline int qry(int k,int res=0){for(;k;k-=(k&-k))res+=c[k];return res;}
struct Q{
	int id,ls,rs;
	inline void gtin(int ID){id=ID,ls=read(),rs=read();}
	inline bool operator <(const Q&ot)const{
		if(be[ls]!=be[ot.ls]) return be[ls]<be[ot.ls];
		if(be[ls]&1) return rs<ot.rs; return rs>ot.rs;
	}
}q[M];
struct _Q{
	int kt,ps,to,ls,rs; _Q(){}
	_Q(int _kt,int _ps,int _to,int _ls,int _rs){kt=_kt,ps=_ps,to=_to,ls=_ls,rs=_rs;}
}pre[M],suf[M];
bool cmp_pre(_Q a,_Q b){return a.ps<b.ps;}
bool cmp_suf(_Q a,_Q b){return a.ps>b.ps;}
inline void ins(int x){for(int k=be[x];k<=tot;k++)++W[k];for(int k=x,TP=R[be[x]];k<=TP;++k)++A[k];}
inline int calc(int x){return W[be[x]-1]+A[x];}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) H[i]=read(),T[i]=mp(H[i],i); sort(T+1,T+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) H[T[i].second]=i; LL Now=0;
	for(L[tot=1]=1,R[tot]=B;R[tot]<n;++tot,L[tot]=R[tot-1]+1,R[tot]=R[tot-1]+B); R[tot]=n;
	for(int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/B+1;
	for(int i=1;i<=n;i++) Now+=i-1-qry(H[i]),add(H[i],1),pr[i]=Now;
	for(int i=1;i<=n;i++) add(H[i],-1),sf[i]=Now,Now-=qry(H[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) q[i].gtin(i); sort(q+1,q+m+1);
	for(int l=1,r=1,i=1;i<=m;i++){
		if(r<q[i].rs) S[i]+=pr[q[i].rs]-pr[r],pre[++tt1]=_Q(-1,l-1,i,r+1,q[i].rs),r=q[i].rs;
		if(l>q[i].ls) S[i]+=sf[q[i].ls]-sf[l],suf[++tt2]=_Q(-1,r+1,i,q[i].ls,l-1),l=q[i].ls;
		if(r>q[i].rs) S[i]-=pr[r]-pr[q[i].rs],pre[++tt1]=_Q(1,l-1,i,q[i].rs+1,r),r=q[i].rs;
		if(l<q[i].ls) S[i]-=sf[l]-sf[q[i].ls],suf[++tt2]=_Q(1,r+1,i,l,q[i].ls-1),l=q[i].ls;
	} sort(pre+1,pre+tt1+1,cmp_pre),sort(suf+1,suf+tt2+1,cmp_suf),d1=d2=1;
	while(d1<=tt1&&(!pre[d1].ps)) ++d1; while(d2<=tt2&&suf[d2].ps>n) ++d2;
	for(int i=1;i<=n&&d1<=tt1;i++)
		for(ins(H[i]);d1<=tt1&&pre[d1].ps==i;S[pre[d1].to]+=(LL)pre[d1].kt*(LL)(pre[d1].rs-pre[d1].ls+1)*(LL)i,++d1)
			for(int k=pre[d1].ls;k<=pre[d1].rs;++k) S[pre[d1].to]-=pre[d1].kt*calc(H[k]);
	memset(A,0,sizeof(A)),memset(W,0,sizeof(W));
	for(int i=n;i>0&&d2<=tt2;--i) for(ins(H[i]);d2<=tt2&&suf[d2].ps==i;++d2)
		for(int k=suf[d2].ls;k<=suf[d2].rs;++k) S[suf[d2].to]+=suf[d2].kt*calc(H[k]);
	for(int i=1;i<=m;i++) cur+=S[i],ans[q[i].id]=cur;
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]); return 0;
}