【NOIP2013模拟联考6】选课

题目

你真的认为选课是那么容易的事吗？HYSBZ的ZY同志告诉你，原来选课也会让人产生一种想要回到火星的感觉。假设你的一周有n天，那么ZY编写的选课系统就会给你n堂课。但是该系统不允许在星期i和星期i+1的时候选第i堂课，也不允许你在星期n和星期一的时候选第n堂课。然后连你自己也搞不清哪种选课方案合法，哪种选课不合法了。你只想知道，你到底有多少种合法的选课方案。

分析

声明一下，参考了题解。

我们定义\(W_k\)表示至少有k节课选错的方案数，

求出这个，用容斥原理就很容易求出正确选课方案数量。

那怎么求\(W_k\)呢？

现在总共 n 堂课分别记为 1,2,...n,它们可放的天数可以表示为(1，2)(2，3)(3，4)...(n，1)现在我们把括号去掉即得到一个数列 1，2，2，3，3，4，....n，1，现在我们从里面取出 K 个数，分别表示 k 堂课所在的天数，现在只要求出满足这个条件的取法数就可以了。

但是，我们不能再同一天选两节课，那么第\(i*2-1和第i*2\)个数是不可以同时取的，

接着，我们不能重复取一节课，那么第\(i*2和第i*2+1\)个数是不可以同时取的（当然，最后一个“1”和最前面的“1”也是不可以同时取的）。

也就是说，对于一个环，求从其中选取k个不相邻顶点得方案数：\(C_{2n-k-1}^{k-1}*\dfrac{2n}{k}\)

证明：对于任意一个顶点A，先取A，然后再从不和A相邻的n-3个其他顶点中取k-1个不相邻顶点，显然可得到符合定理要求的组合，这个组合的个数为C((n-3)-(k-1)+1,k-1)=C(n-k-1,k-1)。一共有n个顶点，而且在每个组合中有k个元素，即可完成证明。

然后其余的随便选，

所以\(W_{k}=C_{2n-k-1}^{k-1}*\dfrac{2n}{k}*(n-k)!\)

THEN？容斥。

据说有种更强大的方法：这道提示有递推式滴！！！



但方法实在是太神奇了，根本就搞不懂。+_+

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const long long maxlongint=2147483647;
const long long mo=1000000007;
using namespace std;
long long jc[210000],ans,n,ny[210000],nn[210000];
long long mi(long long x,long long y)
{
	long long sum=1;
	while(y)
	{
		if(y&1) sum=sum*x%mo;
		x=x*x%mo;
		y/=2;
	}
	return sum;
}
long long C(long long m,long long n)
{
	return jc[m]*nn[m-n]%mo*nn[n]%mo;
}
long long W(long long k)
{
	return n*2*ny[n*2-k]%mo*C(n*2-k,k)%mo*jc[n-k]%mo;
}
int main()
{
	for(long long i=0;i<=200005;i++)
		ny[i]=mi(i,mo-2);
	jc[0]=1;
	nn[0]=1;
	for(long long i=1;i<=200005;i++)
	{
		jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
		nn[i]=mi(jc[i],mo-2);
	}
	while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
	{
		if(n==1)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		ans=jc[n];
		for(long long i=1;i<=n;i++)
		{
			if(i%2)
				ans=(ans-W(i)+mo)%mo;
					else
						ans=(ans+W(i))%mo;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}