[CSP-S模拟测试]:v（hash表+期望DP）

题目背景

　　$\frac{1}{4}$遇到了一道水题，又完全不会做，于是去请教小$D$。小$D$看了$0.607$眼就切掉了这题，嘲讽了$\frac{1}{4}$一番就离开了。于是，$\frac{1}{4}$只好来问你，这道题是这样的：

---

题目描述

　　有$n$个球排成一行，每个球的颜色为黑或白。
　　执行$k$次操作，第$i(1\leqslant i\leqslant k)$次操作形式如下：
　　$\bullet$从$[1,n−i+1]$中，等概率随机选择一个整数$x$。
　　$\bullet$移除从左往右数的第$x$个球，或从右往左数的第$x$个球（也就是从左往右数的第$n−i+2−x$个）。之后，所有右侧的球的编号减$1$。
　　给定每个球的颜色信息，希望最大化移除的白球数量。
　　输出在最优策略下，期望的移除白球数量。误差在${10}^{−6}$范围内，即算正确。

---

输入格式

从文件$v.in$中读入数据。
第一行，两个整数$n,k$。
第二行，一个长度为$n$、仅由$'W'$和$'B'$组成的字符串，第$i$个字符代表第$i$个球的颜色，$'W'$为白色，$'B'$为黑色。

---

输出格式

输出到文件$v.out$中。
输出一行，一个浮点数，代表答案。

---

样例

样例输入1：

3 1
BWW

样例输出1：

1.0000000000

样例输入2：

4 2
WBWB

样例输出2：

1.5000000000

---

数据范围与提示

样例$1$解释：

如果$x=1$，从右侧操作，如果$x=2$或$3$，从左侧操作，均可以移除一个白球。

数据范围：

保证$1\leqslant n\leqslant 30,0\leqslant k\leqslant n$。

---

题解

先来看$20$分的做法，我们可以使用状压$DP$解决，即为：

$$dp[i][sta]=\sum \max (dp[i-1][sta'],dp[i-1][sta"])$$

剩下的我们可以记忆化搜索，用$map$存储已经出现过了的状态，加快转移速度。

但是这道题的数据卡了$map$，所以我们可以考虑$unordered_map+$大力卡常或者是手打$hash_map$，建议选择后者，既锻炼了手打$hash_map$的能力，又能感受到轻松$AC$此题的快感（不用卡常）。

状态数最多只有$\sum \limits_{i=0}^n\min\{2^i,C_n^i\}$，即为$\sum \limits_{i=1}^{n+1}Fib(i)$。

时间复杂度：$\Theta(\sum \limits_{i=1}^{n+1}Fib(i)\times n)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

---

代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec{int nxt,to,w;double v;};
struct hash_mp
{
	int head[40000000],cnt;
	rec e[6000000];
	int len;
	double &operator[](int sta)
	{
		int key=1LL*sta*len%30000019;
		for(int i=head[key];i;i=e[i].nxt)
			if(e[i].to==sta&&e[i].w==len)return e[i].v;
		e[++cnt].nxt=head[key];
		e[cnt].to=sta;
		e[cnt].w=len;
		e[cnt].v=-1.0;
		head[key]=cnt;
		return e[cnt].v;
	}
}mp;
int n,k;
char ch[31];
int st;
double dfs(int x,int sta)
{
	if(x==n-k)return 0.0;
	mp.len=x;
	if(mp[sta]>-0.5)return mp[sta];
	mp[sta]=0;
	st=sta;
	bool Map[31];
	for(int i=1;i<=x;i++)
	{
		Map[i]=st&1;
		st>>=1;
	}
	for(int i=1;i<=x/2;i++)
	{
		double flag1=dfs(x-1,((sta>>(x-i+1))<<(x-i))|(sta&((1<<x-i)-1)))+Map[x-i+1];
		double flag2=dfs(x-1,((sta>>i)<<(i-1))|(sta&((1<<i-1)-1)))+Map[i];
		mp.len=x;
		mp[sta]+=2.0/x*max(flag1,flag2);
	}
	if(x&1)
	{
		double flag=dfs(x-1,(sta>>(x-((x>>1)+1)+1))<<(x-((x>>1)+1))|(sta&((1<<(x-((x>>1)+1)))-1)))+Map[x/2+1];
		mp.len=x;
		mp[sta]+=1.0/x*flag;
	}
	return mp[sta];
}
int main()
{
	scanf("%d%d%s",&n,&k,ch+1);
	k=min(n,k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		st<<=1;
		if(ch[i]=='W')
			st++;
	}
	printf("%.10lf",dfs(n,st));
	return 0;
}

---

rp++