数组和字符串的基础题目学习（EPI）

学习的速度有些慢，脑袋转动的频率有些不是很高。不过今天的效率我觉得还是可以，应该不能称效率吧，就是整个感觉不错，感觉自己补充了很多的知识。其实G家和F家败了之后不知道看看算法题对接下来的找工作帮助是否会很大，但是看算法题目也是提高解决问题能力的一种方式吧，锻炼思维。僵化的思维实在有些不能忍受。

另外今天更是遇到之前leetcode之中的一些题目，当时那个题目第一时间没有思路，想了良久有了思路，有种灵机一动的感觉，今天碰到的时候竟然没有回想起来，即使自己的灵机一闪也无法依赖。那种灵机一动的时候人的状态可能提升了，正常的状态没办法恢复到那个效果了-_-。也许不断提高自己的正常状态，或者增加灵机一动的几率，也许只有靠不断的锻炼和不断的温故而知新了~。废话这么多，直接进入正题吧，今天的题目当中还是有很多非常值得期待（百思不得其解）的题目。

1.荷兰国旗问题。朴素的解释就是只含有0,1,2的数组进行排序，要求时间复杂度O（n），空间复杂度O（1）。（Leetcode）

扩展问题：如果数组含有0,1,2,3四个数值进行排序又需要如何排序？

类似快速排序的partition，但是快排的partition过程关于相等的部分未进行处理。思路就是保持一个尾部其后方均大于partition元素，保持一个头部指针其前方均小于partition元素。中间自然就是等于partition的元素。

void sorted(int A[],int i) {
	//quick sort partition is not right
	int start = 0;
	int end = Alen - 1;
	int partition = A[i];
	for(int i = start;i <= end;i++) {
		if( A[i] == partition ) {
			continue;
		}
		else if( A[i] > partition ) {
			swap(A[i--],A[end--]);
		}
		else {
			swap(A[i--],A[start++]);
		}
	}
}

　　关于扩展问题4个元素的排序，我的想法是首先利用第二个数利用上述的方法进行partition会得到一个相对有序的数组，但是end -- 数据结尾这部分未排序，包含后两个元素的乱序，重新在进行一下partition，即调用两次partition的过程应该可以完成任务。不知道是不是还有更好的思路，欢迎留言~

2.设计一个方法，读&写一个未初始化的数组可达到O（1）的时间复杂度，可以利用额外的O（n）的空间，如果读到未初始化的单元需要返回false。

这个题目在《编程珠玑》中也出现过，但是只是简单的描述下思路，没有理解这个解题的过程，趁这个时间了解到了这个解题过程，非常有技巧的一个方法。

首先想到的利用额外的数组标示是否初始化...但是却被额外的数组如何初始化困扰-_-。    好吧，自己确实想不出什么好办法。

解决方案额外引入O（2n）的空间和一个整型变量。 思路如下图所示~

初始化操作：t=0，需要O（1）的时间复杂度。辅助数组P，S均是未初始化。

判断A[i]是否初始化利用：P[i] < t && S[P[i]] == i  （ 可以这么理解，如果第i个未初始化，则P[i]随机数。如果不在0-t之间，直接返回未初始化。如果刚好是0-t的随机数，但是S[P[i]] == i这个随机数又无法保证，所以这里就能得出未初始化的结论）

插入一个元素的时候将P[i]对应的地方写入t，S[t] = i，然后t++，就能一直保证上面的验证了~。

图例表示的首先插入7，然后插入2，然后插入1后的状态。

3.一个数组A，求满足i < j的情况下，max（A[j] - A[i]），时间复杂度O（n）。

扩展问题：求满足 i ₀ < j ₀ < i ₁ < j ₁ 的情况下，max( A[j₀] - A[i₀] + A[j₁] - A[i₁] )，时间复杂度O（n）。

更复杂的扩展问题：如果将上面的问题，1,2，扩展至n又应该如何解题目？即 max(A[j₀] - A[i₀] + A[j₁] - A[i₁] + .... + A[j_k-1] - A[i_k-1])。如何解决该普适性的问题呢？

这些题目刚好对应leetcode中的 股票I II III三个问题，其中更复杂的扩展为普适性解法。

4.设计一个高效的求n-sum子集模0的问题。问题具体描述，给定一个数组A，数组A的长度为n，设计一个高效的方法求出数组中模n为0的子集。

题目意思比较理解，当时没有理解透彻，以为和leetcode中的2-sum On，3-sum On2，4-sum  On3 是一个类型的问题。所以就没有仔细思考。

解题思路如下：预先处理数组A，计算出prefixsum[i]为从0-i的A数组的和，根据i可以从0-n-1的属性，一共有n个前缀和，模n的结果为0-n-1刚好也n个鸽子，如果n个鸽子放进n个笼子，只有两种结果，每个笼子都有鸽子或是一个笼子放进了至少两个鸽子，如果第一种情况，则模为0的结果直接返回。 如果是一个笼子至少放进了两个鸽子，则可知prefixsum[x] == prefixsum[y]，且假设x < y，则x 至  y 这段的和为0，模为0的和返回即可。~

题目中还有鸽巢原理的意味。

5.设计一个求出数组A中最长连续递增子串的算法。

理解题意之后就是连续增长的子串，扫描一遍就可以得到了，保存一个最长的长度，和最长长度开始的位置，扫描完毕直接截取子串就可以了。

EPI中描述了一种稍微优化的方法，稍微优化是因为最快情况的时间复杂度依然是O（n），这样相比之前，常数时间内没有得到提高。而且平均时间复杂度不像快速排序那样容易分析，不过优化的思路还是很有技巧的。

假设遍历中的一个场景，遍历至数组A[i]得到A[i-1]>=A[i]，依照之前暴力的方法，这里需要在A[i]的位置重新开始计算一个子数组。这里假设在A[i]之前已经找到一个最长长度为L的连续递增子串，此时可以直接从A[i+L]的位置向A[i]遍历，如果出现一次非递减的数对，可以直接将i的位置调整至这个非递减的位置。

6.题目描述有些长，看起来是一个非常像考查并查集的题目。

并查集数据结构如何实现呢？

7.题意没有理解透彻，所以先不更新上来。

8.利用字符串模拟高精度的大整数乘法。

算是一个比较基础的题目了，实现的时候注意细节，如果利用string的话因为每个char的上限是255，实现乘法的时候我一般利用的是vector<int>这样没有一个溢出的问题。

9.给出一个数组A，和一个针对数组A的置换，利用常数的空间复杂度完成该置换对数组A的操作。

非常数空间复杂度的计算非常容易，重新开辟一个数组A，针对每个置换的位置直接将A的元素放置在置换后的位置即可。

置换可以分为不同的环，不同的环进行一次置换的时候不需要空间复杂度。但是分环的过程呢？其实这个问题在O（1）进行置换的时候存在一个问题是无法知道停止条件，这里有一个特殊的小技巧，每次利用完一个置换元素置换之后，将其减去置换数组的长度，这样它就变成了负数，再遇到这个时你就能够了解到它已经被访问过了。事后再将这些元素还原即可。

10.利用常数空间复杂度求一个置换的逆。

思路和上面题目的技巧类似，

11.求排列的下一个排列，及实现next_permutation。

扩展问题：求n个数字排列的第k个排列。

扩展问题：求排列的前一个排列，及实现pre_permutation.

组合数学中的一个很常见的算法~

第一个扩展问题，可以首先利用dfs求取全排列的模板，统计到k的时候完成，但是这样效率比较低，所以可以利用实现存储好的阶乘表进行剪枝操作，不断的剪去无效的搜索。

12.针对字符串进行原地的循环移位。

进行3次reverse操作即可完成操作。

13.将一个正方形矩阵旋转90度操作。

a.首先最直观的思路就是单个元素单个元素的进行置换。一层一层的向里进行，代码有些类似矩形的螺旋输出算法。

b.可以进行两次反转完成旋转90度的操作。如下图：