Codeforces - Educational Codeforces Round 5 - E. Sum of Remainder

题目链接：http://codeforces.com/contest/616/problem/E

题目大意：给定整数n，m(1≤n,m≤10¹³)， 求(n mod 1 + n mod 2 + ... + n mod m)的值（mod Pt = 1e9 + 7）。

思路：这题一看是看觉得题意简洁，通过人数不多一定是一道用到各种定理的碉堡数论题。后来仔细想了一下发现是乱搞…

首先通过观察数据范围，结合数论题的复杂度传统考虑O(√n)算法。

把n拆解，可以任意写成很多种n = px + r 的形式，而p, x中必有一个≤√n，首先对于[1，√n]的x暴力处理n % x，而当x > √n的时候，就出现了一个[1, √n]的p，对应一段连续的x的情况，同样r也是对应的。如果能够快速批处理出这些r的和，那么就能通过1 - √n枚举p来搞定x∈[√n， +∞]的情况。通过观察，对于任何一个p对应的连续的x区间，r都成首项为n - (n / p) * p, 公差为p，项数为n / p - n / (p + 1)的等差数列前n项和，因此带入公式可O(1)得解。 先枚举p去做代码比较好些，直到n / p < √n，把成块的x处理结束，剩下谁就直接从1到那个值暴力枚举计算比较容易写。

当m > n的时候把m变成n，答案初始为n * (m - n) 即可。值得注意的是m < n的时候，要注意从p等于多少开始能覆盖到m，那个边界的x区间中，r的首项为n % m。

题目要求% Pt， 这一点卡的很严，注意n % m之后还要再 % Pt，而且中间计算的过程中每一步运算都要%，防止爆long long。

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 const LL Pt = 1e9 + ;
 LL n, m, d1, d2, a, k, ans, pos, ans1;

 int main()
 {
     scanf("%I64d%I64d", &n, &m);
     if (m > n) ans = ((n % Pt) * ((m - n) % Pt)) % Pt, m = n;
     bool flag = false;
     for (LL i = ; i <= n; i++)
     {
         d1 = n / i; d2 = n / (i - );
         if (d1 < m && !flag)
         {
             flag = true;
             a = (n % m) % Pt;
             k = (m - d1) % Pt;
             a = ((a * k) % Pt + (((k * (k - ) / ) % Pt) * (i - )) % Pt) % Pt;
             ans = (ans + a) % Pt;
             continue;
         }
         if (flag)
         {
             a = (n - d2 * (i - )) % Pt;
             k = (d2 - d1) % Pt;
             a = ((a * k) % Pt + (((k * (k - ) / ) % Pt) * (i - )) % Pt) % Pt;
             ans = (ans + a) % Pt;
         }
         if (d1 <= sqrt(n)) {pos = d1; break;}
     }
     for (LL i = ; i <= min(pos, m); i++) ans = (ans + n % i) % Pt;
     printf("%I64d\n", ans);
 }