hduTHE MATRIX PROBLEM(差分约束)

题目请戳这里

题目大意：给一个n*m的矩阵，求是否存在这样两个序列：a1，a2。。。an，b1，b2，。。。，bm，使得矩阵的第i行乘以ai，第j列除以bj后，矩阵的每一个数都在L和U之间。

题目分析：比较裸的差分约束。考虑那2个序列，可以抽象出m+n个点。乘除法可以通过取对数转换为加减法。然后就可以得到约束关系：

对于矩阵元素cij，有log(L) <= log(cij) + ai - bj <= log(U)，整理可得：

ai - bj <= log(U) - log(cij)，n+j向i建边，边权log(U) - log(cij)。

bj - ai<= log(cij) - log(L)，i向n+j建边，边权log(cij) - log(L)。

设0为源点，源点到每个点建边，边权0。从源点出发找负环，存在负环无解。

求最短路一般用spfa比较高效，但是如果判断负环的话spfa就比较慢了，因为最坏情况下复杂度依然是O(m*n)的，这题如果用spfa判断一个点进队n+m次就会TLE。一个不严谨的结论是判断sqrt（n+m）次就可以了。

判断负环还有一种更高效的方法：dfs。利用dfs深度优先的特点，找到一条路就一直往下走，能很快找出负环。每次访问一个节点后标记进栈，如果访问到某个点发现已经被标记进栈了，可以直接判断负环。

详情请见代码（二合一）：

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 405;
const int M = 805;
const double eps = 1e-7;

double c[N][N];
int l,r,n,m,num;
double la,ra;
struct node
{
    int to,next;
    double val;
}g[10000005];
int head[M],in[M],que[M];
double dis[M];
bool flag[M];
void build(int s,int e,double v)
{
    g[num].to = e;
    g[num].next = head[s];
    g[num].val = v;
    head[s] = num ++;
}
bool instack[M];
bool dfs(int cur)
{
    if(instack[cur])
        return true;
    instack[cur] = true;
    flag[cur] = true;//visted
    int i;
    for(i = head[cur];~i;i = g[i].next)
        if(dis[cur] + g[i].val < dis[g[i].to])
        {
            dis[g[i].to] = dis[cur] + g[i].val;
            if(dfs(g[i].to))
                return true;
        }
    instack[cur] = false;
    return false;
}
bool dspfa()
{
    int i;
    memset(flag,false,sizeof(flag));
    memset(instack,false,sizeof(instack));
    for(i = 0;i <= m + n;i ++)
    {
        dis[i] = 0.0;
    }
    for(i = 1;i <= m + n;i ++)
        if(!flag[i])
            if(dfs(i))
                return true;
    return false;
}

bool spfa()
{
    int i;
    int front,rear;
    front = rear = 0;
    for(i = 0;i <= m + n;i ++)
    {
        dis[i] = 100000000.0;
        flag[i] = false;
        in[i] = 0;
    }
    dis[0] = 0;
    in[0] = 1;
    flag[0] = true;
    que[rear ++] = 0;
    while(front != rear)
    {
        int u = que[front ++];
        if(front == M)
            front = 0;
        flag[u] = false;
        for(i = head[u];~i;i = g[i].next)
        {
            if(dis[g[i].to] > dis[u] + g[i].val)
            {
                dis[g[i].to] = dis[u] + g[i].val;
                if(flag[g[i].to] == false)
                {
                    flag[g[i].to] = true;
                    in[g[i].to] ++;
                    if(in[g[i].to] > (n + m))//sqrt((double)
                        return false;
                    que[rear ++] = g[i].to;
                    if(dis[que[front]] > dis[g[i].to])
                        swap(que[front],que[rear - 1]);
                    if(rear == M)
                        rear = 0;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    //freopen("out.txt","r",stdin);
    int i,j,x;
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        scanf("%d%d%d",&m,&l,&r);
        la = log10((double)l);ra = log10((double)r);
        memset(head,-1,sizeof(head));
        num = 1;
        for(i = 1;i <= n + m;i ++)
            build(0,i,0.0);
        for(i = 1;i <= n;i ++)
            for(j = 1;j <= m;j ++)
            {
                scanf("%d",&x);
                c[i][j] = log10((double)x);
                build(i,j + n,c[i][j] - la);
                build(j + n,i,ra - c[i][j]);
            }
        if(spfa())//if(!dspfa())
            puts("YES");
        else
            puts("NO");
    }
    return 0;
}
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