java常见面试题2：求出两个正整数的最大公约数

概念：

最大公约数：两个整数共有因子中最大的一个

方法一：

如果两个数相等，则最大公约数为它本身，两个数不等，则用两个数依次除 两个数中最小的一个到 1，直到找到同时能被两个数除尽的那个数

代码清单：

       public static int gcd1(int x, int y) {
        int result = 0; // 最大公约数
        int min = x > y ? y : x; // 两个整数中最小的数
        if (x == y) {
            result = x;
        } else {
            for (int i = min; i >= 1; i--) {
                if (x % i == 0 && y % i == 0) {
                    result = i;
                    break;
                }
            }
        }
        return result;
    }

方法二：辗转相除法

假设用f(x,y) 表示x , y 的最大公约数，取 k = x/y , b = x%y ,则 x = ky + b ,如果一个数能够同时整除  x 和 y ,则 x 和 y 的公约数与 b 和 y 的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有 f(x,y) = f(y , x%y)  (x>=y>0)。如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，知道其中的一个数为0，剩下的另外一个数就是两者的最大公约数。

示例如下：

F(42,30) = F(30,12) = F(12,6) = F(6, 0) = 6

代码清单：

public static int gcd2(int x, int y) {
    return (y == 0) ? x : gcd(y, x % y);
} 

方法三：

方法二中用到了取模运算。但对于大整数而言，取模运算（用到除法）是非常昂贵的开销。能不能不用取模式运算呢？

采用类似辗转相除法的分析，如果一个数能同时整除x和y ，则必能同时整除x-y和y

即x 和 y 的公约数和 x - y 和 y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的。即

F(x , y)  = F (x-y , y)

示例如下：

F(42,30) = F(30,12) = F(12,18) = F(18, 12)= F( 12 ,6 ) = F( 6, 6) = F( 6, 0) = 6

代码清单：

public int gcd3(int x, int y) {
        if (x < y) {
            return gcd3(y, x);
        }
        if (y == 0) {
            return x;
        } else {
            return gcd3(y, x-y);
        }
}