花式求解 LeetCode 279题－Perfect Squares

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https://www.jianshu.com/p/2925f4d7511b

迫于就业的压力，不得不先放下 iOS 开发的学习，开始走上漫漫刷题路。

今天我想聊聊 LeetCode 上的第279题－Perfect Squares，花了挺长时间的，试了很多方法，作为一个算法新手，个人感觉这题很好，对我的水平提升很有帮助。我在这里和大家分享一下我的想法。下面是题目：

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ... ) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13,return 2 because 13 = 4 + 9.

大致意思就是，“给一个正数 n， 找到和为 n 的平方数, 给出最少的平方数个数”。

BFS

我刚开始想到的是用 BFS，经过一番实践，感觉代码是对的，但是 Time Limit Exceeded。毕竟用了 2 层循环。于是我就找了个字典（Dictionary）来存已经算过的节点，比如一个很大的数 n，有很大几率 n - i * i 这个节点和后面算出来的 m - j * j 是相等的。那么就不再重新计算。但是，还是超时了。这部分代码2个小时前被我扔了，我就不在这里重新写了。

Lagrange's four-square theorem

这里算是完全用数学知识解决了这个问题。不知道四平方和定理的请参考 wikipedia。话说童鞋们最好看英文版的 wiki，别翻译成中文比较好。我也不说英文更专业，虽然好像就是这么回事 ＝＝ 因为有个公式非常重要，而解这题全靠这个公式：

这个定理就是讲，任何数都可以由4个平方数组成，即 n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2，所以这题的答案已经限定在了 [1,4] 之间。

而上面这个公式的发明者－Adrien-Marie Legendre 又补充了这个定理：除了满足以上这个公式的数以外的任何数都可以由3个平方数组成。所以，这个答案又可以缩小范围了。范围都已经缩小到 [1,3] 了，我们开始求解。

先排除4个的情况：

    while myN & 3 == 0 {
        myN >>= 2
    }

<span class="hljs-keyword">if</span> myN % <span class="hljs-number">8</span> == <span class="hljs-number">7</span> {
    <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-number">4</span>
}

因为1和2的情况比较容易排除，先把1和2的排除。

    var index = Int(sqrt(Double(n)))
    while index > 0 {
        let tmp = Double(n - index * index)
        let sqrtTmp = Int(sqrt(tmp))
        if n == sqrtTmp * sqrtTmp + index * index {
            return sqrtTmp == 0 ? 1 : 2
        }
        index -= 1
    }

上面的代码就是说，如果一个数由2个平方数组成，如果其中一个平方数是0，那么就是1，如果不是0，那就是2。

剩下的就是3了，直接 return 3 就行了。在知道这个数学公式的情况下，这个方法还是很简单的。

DP

我刚刷题没几天，对于 DP 的推理过程还不是很熟练，琢磨了好久。一旦琢磨出来了，又觉得好简单，换一题，又可以琢磨一年。lol

初级的 DP 的使用方式差不多就是 Recursion + Memorization，就是递归和缓存。这里我们用一个数组来存储已经算过的数的最少平方数的个数 (记作 minNum)。从1开始算（从0也没事）。

这里我们分2层来算，外层循环是计算从1到 n的各个数的最少平方数 minNum, 存入到数组中，数组的 index 表示数 n，里面的 val 表示 minNum。关键是求每个数的 minNum。这里我们用到递归，核心代码就是：

let tmp = val - i * i
minNum = min(minNum, tmp == 0 ? 1 : 1+sta.record[tmp])

tmp 表示 val 减去一个平方数剩下的数，如果 tmp == 0，就表示 val == i * i，即它由1个平方数组成；如果 tmp != 0，就那么我们就需要求以 tmp 为 val 的 minNum，也就是 tmp2 = tmp - i * i ，这个 tmp2 就相当于之前的 tmp。为了求 tmp 的 minNum，我们需要计算出 从1到 sqrt(val) 之间所有的可能值，然后取最小值。最后将那个最小值存放到数组中。最终代码就是

func numSquares(n: Int) -> Int {
     var record = [0,1]
    while record.count <= n {
        var val = record.count, minNum = record.count
        for i in 1...Int(sqrt(Double(val))) {
            let tmp = val - i * i
            minNum = min(minNum, tmp == 0 ? 1 : 1+record[tmp])
        }
        record.append(minNum)
    }
    return record[n]
}

但是跑了之后又发现，我特喵的没错啊，怎么时间又是这么长，1400ms。如果拿个稍微大点的数放到 playground 里跑一跑就会发现，循环次数还是挺多的。所以这里就需要考虑到把数组存成 static，而 swift 是没法在 function 里直接申明 static var n = 1 的，我们需要把 static 放在 class/struct 里，参见 SO 大神的解答，还有官方 doc。

可以把这个 struct 放在 class Solution 里面，也可以放在外面，最后时间是 60ms 左右。从 1400 到 60，还是可以的。

struct sta {
    static var record = [0,1]
}

也许从短短这么一篇文章你就已经看出来了一些 swift 语言的特点，最大的特点就是类型安全。求个根都要 Int(sqrt(Double(n)))，我以前是用 C++ 的，遇到这种情况还是有点膈应的。但其实 swift 的优点绝对是可以让我安全无视这些小麻烦的，其实习惯了之后就感觉是更方便，更安全了。

最后

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