非确定性有穷状态决策自动机练习题Vol.1 A.扭动的回文串

题目描述

$JYY$有两个长度均为$N$的字符串$A$和$B$。

一个“扭动字符串$S(i,j,k)$由$A$中的第$i$个字符到第$j$个字符组成的子串

与B中的第$j$个字符到第$k$个字符组成的子串拼接而成。

比如，若$A$=’XYZ’，$B$=’UVW’，则扭动字符串$S(1,2,3)$=’XYVW’。

$JYY$定义一个“扭动的回文串”为如下情况中的一个：

1.$A$中的一个回文串；

2.$B$中的一个回文串；

3.或者某一个回文的扭动字符串$S(i,j,k)$

现在$JYY$希望找出最长的扭动回文串。

输入格式

第一行包含一个正整数$N$。

第二行包含一个长度为$N$的由大写字母组成的字符串A。

第三行包含一个长度为$N$的由大写字母组成的字符串B。

输出格式

输出的第一行一个整数，表示最长的扭动回文串。

样例

样例输入

5

ABCDE

BAECB

样例输出

5

样例解释

最佳方案中的扭动回文串如下所示（不在回文串中的字符用.表示）：

.BC..

..ECB

数据范围与提示

对于$10\%$的数据：$N≤100$；

对于$30\%$的数据：$N≤1000$；

对于$50\%$的数据：$N≤10000$;

对于$100\%$的数据：$1≤N≤10^5$

分析

对于只在 $A$ 中的回文串和只在 $B$ 中的回文串，我们直接拿马拉车 $O(n)$ 解决即可

比较难处理的是扭动回文串的情况

显然，对于每一个回文串，都有一个回文中心（在马拉车算法前，我们已经把所有的偶回文串填充成了奇回文串）

我们可以把 $A$ 串和 $B$ 串中的每一个字符都当作回文中心计算贡献

在马拉车算法后，我们已经求出了以 $i$ 作为回文中心的最长回文半径 $f[i]$

我们只需要在原来的基础上继续向外扩展即可

对于 $A$ 串中的字符，我们在原串上向左扩展，在 $B$ 串上向右扩展

对于 $B$ 串中的字符，我们在原串上向右扩展，在 $A$ 串上向左扩展

直接暴力去扫肯定会 $T$ ，我们可以用二分+ $Hash$ 将扩展的复杂度降为 $\log(n)$

对于 $A$ 我们正着记录一遍哈希值，对于 $B$ 我们倒着记录一遍哈希值即可

代码

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

const int maxn=1e6+5;

typedef unsigned long long ll;

const ll bas=233;

char a[maxn],b[maxn],ksa[maxn],ksb[maxn];

int fa[maxn],fb[maxn],n;

ll hasha[maxn],hashb[maxn],mi[maxn];

inline int read(){

	int x=0,f=1;

	char ch=getchar();

	while(ch<'0' || ch>'9'){

		if(ch=='-') f=-1;

		ch=getchar();

	}

	while(ch>='0' && ch<='9'){

		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);

		ch=getchar();

	}

	return x*f;

}

int js=0;

ll get_hasha(int l,int r){

	return hasha[r]-hasha[l-1]*mi[r-l+1];

}

ll get_hashb(int l,int r){

	return hashb[l]-hashb[r+1]*mi[r-l+1];

}

//取哈希值

int solvea(int id){

	int l=id-fa[id]+1,r=id+fa[id]-1;

	int nl=0,nr=min(l-1,n-r),nmids;

	while(nl<=nr){

		nmids=(nl+nr)>>1;

		if(get_hasha(l-nmids,l)==get_hashb(r-2,r+nmids-2)) nl=nmids+1;

		else nr=nmids-1;

	}

	return fa[id]-1+nr;

}

int solveb(int id){

	int l=id-fb[id]+1,r=id+fb[id]-1;

	int nl=0,nr=min(l-1,n-r),nmids;

	while(nl<=nr){

		nmids=(nl+nr)>>1;

		if(get_hasha(l-nmids+2,l+2)==get_hashb(r,r+nmids)) nl=nmids+1;

		else nr=nmids-1;

	}

	return fb[id]-1+nr;

}

//对于两个串分别二分

int main(){

	n=read();

	scanf("%s%s",ksa+1,ksb+1);

	n=n*2+1;

	a[0]='$',b[0]='$';

	for(int i=1;i<=n;i++){

		if(i&1) a[i]='#';

		else a[i]=ksa[i/2];

	}

	for(int i=1;i<=n;i++){

		if(i&1) b[i]='#';

		else b[i]=ksb[i/2];

	}

	mi[0]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		mi[i]=mi[i-1]*bas;

		hasha[i]=hasha[i-1]*bas+a[i];

	}

	for(int i=n;i>=1;i--){

		hashb[i]=hashb[i+1]*bas+b[i];

	}

	//预处理哈希值

	int mids=0,r=0,ans=0;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		if(i<=r) fa[i]=min(fa[mids*2-i],r-i+1);

		while(a[i+fa[i]]==a[i-fa[i]]) fa[i]++;

		if(i+fa[i]-1>r){

			r=i+fa[i]-1,mids=i;

			ans=max(ans,fa[i]-1);

		}

	}

	mids=0,r=0;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		if(i<=r) fb[i]=min(fb[mids*2-i],r-i+1);

		while(b[i+fb[i]]==b[i-fb[i]]) fb[i]++;

		if(i+fb[i]-1>r){

			r=i+fb[i]-1,mids=i;

			ans=max(ans,fb[i]-1);

		}

	}

	//马拉车

	for(int i=1;i<=n;i++){

		ans=max(ans,solvea(i));

		ans=max(ans,solveb(i));

	}

	printf("%d\n",ans);

	return 0;

}