【BZOJ4816】数字表格（莫比乌斯反演）

【BZOJ4816】数字表格（莫比乌斯反演）

题面

BZOJ

求

\[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf[gcd(i,j)]
\]

题解

忽然不知道这个要怎么表示。。。

就写成这样吧。。

\[\prod_{d=1}^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mif(gcd(i,j)==d)f[gcd(i,j)]
\]

直接把\(f[d]\)提出来

\[\prod_{d=1}^{n}f[d]^{\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]}
\]

上面那个东西用莫比乌斯反演+数论分块可以\(O(\sqrt n)\)求

外面套的这一层也可以数论分块求

于是，我们就得到了一个\(O(n)\)的做法

但是显然还不够

把上面那坨东西拎出来看

\[\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]
\]

太熟悉了

\[\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}]
\]

还是老套路，

令\(T=id\)

直接把\(T\)在整个式子里面提出来

\[\prod_{T=1}^{n}\prod_{d|T}f[d]^{[n/T][m/T]\mu(T/d)}
\]

有一些一样的东西

\[\prod_{T=1}^{n}(\prod_{d|T}f[d]^{\mu(T/d)})^{[n/T][m/T]}
\]

然后怎么办。。。。

很明显，已经可以对\([n/T][m/T]\)分块了

那。。。里面的东西怎么办。。。

又不能线性筛。。。

喂喂。。。不能线性筛就暴力算呀

数据范围\(10^6\)

每个数暴力算到他的倍数里面去

也就是\(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+.....\frac{n}{10^6}\)

这个东西也就是\(15n\)的样子

所以直接暴力把那个东西的前缀给求出来

就可以做到\(O(\sqrt n)\)求解了

补充几个问题

求\([\frac{n}{i}][\frac{m}{i}]\)次方的时候，可以直接膜一个\(1e9+6\)

这样会块很多。。。

然后就是斐波那契数列的逆元提前算出来

要不然在暴力求解的时候就会多个\(log\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 1000000
inline int read()
{
	int x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*a*s%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int f[MAX+10],pri[MAX],tot;
int g[MAX+10];
int inv[MAX+10];
int F[MAX+10];
int mu[MAX+10];
bool zs[MAX+10];
int n,m;
void pre()
{
	f[1]=g[1]=F[0]=F[1]=1;
	mu[1]=1;zs[1]=true;
	for(int i=2;i<=MAX;++i)
	{
		f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%MOD;
		g[i]=fpow(f[i],MOD-2);F[i]=1;
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else{break;}
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAX;++i)
	{
		if(!mu[i])continue;
		for(int j=i;j<=MAX;j+=i)
			F[j]=1ll*F[j]*(mu[i]==1?f[j/i]:g[j/i])%MOD;
	}
	for(int i=2;i<=MAX;++i)F[i]=1ll*F[i]*F[i-1]%MOD;
}
int main()
{
	pre();
	int T=read();
	while(T--)
	{
		n=read(),m=read();
		if(n>m)swap(n,m);
		int i=1,j,inv,ans=1;
		while(i<=n)
		{
			j=min(n/(n/i),m/(m/i));
			inv=1ll*F[j]*fpow(F[i-1],MOD-2)%MOD;
			ans=1ll*ans*fpow(inv,1ll*(n/i)*(m/i)%(MOD-1))%MOD;
			i=j+1;
		}
		printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
	}
	return 0;
}