LGP4456题解
我就是不用矩阵快速幂!
题意:一个 \(\rm 01\) 序列为合法的当且仅当没有两个相邻的 \(1\),若 \(1\) 的个数为 \(x\),\(0\) 的个数为 \(y\),这个 \(\rm 01\) 的价值为 \(x^a \times y^b\)。
请求出所有长度为 \(n\) 的 \(\rm 01\) 序列的价值之和,对 \(m\) 取模。
这道题的阴间之处就在于 \(m\) 不一定是质数。。。
首先我们枚举 \(1\) 的个数,可以得到答案为:
\]
如果 \(m\) 是质数的话,这里就可以直接 \(O(n)\) 计算了,可惜并不是。
考虑使用二项式定理展开后者:
\]
\]
现在的问题就是如何处理 \(\sum_{i=0}^{\infty}\binom {n-i+1}ii^k\)。
使用 \(\binom n m=\binom {n-1} m+\binom {n-1}{m-1}\) 展开组合数:
\]
\]
\]
\]
把后面用二项式定理展开:
\]
\]
所以:
\]
如果仔细点儿可以发现这里实际上是在说:
\]
也就是说 $f_{i,j} $ 对 $ f_{n,k}$ 的贡献与斐波那契数列有关,为 \(\binom k jfib_{n-i-2}\)。
接下来就很好办了。
设 \(F_k(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_{i,k}x^i\)
首先很明显,根据定义有 \(F_0(x)=\frac 1 {1-x-x^2}\)。(也就是斐波那契数列)
于是有:
\]
我们可以根据这个直接知道 \(F_1(x)=\frac 1 {(1-x-x^2)^2}\)。
那么 \(F_2(x)\) 呢?
\]
合理猜测 \(F_k(x)\) 的分母为 \((1-x-x^2)^{k+1}\)。
于是我们只维护分子,不维护分母。
那么分子所对应的递推式就应该是 \(H_k(x)=\frac {x^2}{1-x-x^2}\sum_{i=0}^{k-1}\binom k iH_i(x)(1-x-x^2)^{k-i}\)。
于是我们使用类似秦九韶求多项式的值的方法可以做到 \(O(k^3)\) 处理出 \(H_0(x) \sim H_k(x)\),然后再使用常系数齐次线性递推算一下就是和比暴力矩快还慢的\(O((a+b)^3+a(a+b)^2\log n)\) 了。
第二种做法:我们可以列一个 DP 方程,然后用 BM 大力猜出递推式,就可以做到 \(O((a+b)^2\log n)\) 了,好耶!(这里根据直觉猜测递推式的长度就是 a+b)
LGP4456题解的更多相关文章
- 2016 华南师大ACM校赛 SCNUCPC 非官方题解
我要举报本次校赛出题人的消极出题!!! 官方题解请戳:http://3.scnuacm2015.sinaapp.com/?p=89(其实就是一堆代码没有题解) A. 树链剖分数据结构板题 题目大意:我 ...
- noip2016十连测题解
以下代码为了阅读方便,省去以下头文件: #include <iostream> #include <stdio.h> #include <math.h> #incl ...
- BZOJ-2561-最小生成树 题解(最小割)
2561: 最小生成树(题解) Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 1628 Solved: 786 传送门:http://www.lyd ...
- Codeforces Round #353 (Div. 2) ABCDE 题解 python
Problems # Name A Infinite Sequence standard input/output 1 s, 256 MB x3509 B Restoring P ...
- 哈尔滨理工大学ACM全国邀请赛(网络同步赛)题解
题目链接 提交连接:http://acm-software.hrbust.edu.cn/problemset.php?page=5 1470-1482 只做出来四道比较水的题目,还需要加强中等题的训练 ...
- 2016ACM青岛区域赛题解
A.Relic Discovery_hdu5982 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/65536 K (Jav ...
- poj1399 hoj1037 Direct Visibility 题解 (宽搜)
http://poj.org/problem?id=1399 http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=1037 题意: 在一个最多200*200的minec ...
- 网络流n题 题解
学会了网络流,就经常闲的没事儿刷网络流--于是乎来一发题解. 1. COGS2093 花园的守护之神 题意:给定一个带权无向图,问至少删除多少条边才能使得s-t最短路的长度变长. 用Dijkstra或 ...
- CF100965C题解..
求方程 \[ \begin{array}\\ \sum_{i=1}^n x_i & \equiv & a_1 \pmod{p} \\ \sum_{i=1}^n x_i^2 & ...
随机推荐
- iOS程序的启动过程
UIApplicationMain main函数中执行了一个UIApplicationMain这个函数 int UIApplicationMain(int argc, char *argv[], NS ...
- SEL类型
1.什么是SEL类型 SEL类型代表着方法的签名,在类对象的方法列表中存储着该签名与方法代码的对应关系 每个类的方法列表都存储在类对象中 每个方法都有一个与之对应的SEL类型的对象 根据一个SEL对象 ...
- c++ 堆栈和内存管理
stack(栈),heap(堆) Stack:是存在于某作用域(scope)的一个内存空间(memory space).例如当你调用函数,函数本身即会形成一个stack用来放置它所接收的参数,返回地址 ...
- python基础语法_字符串编码
Python常用字符编码 http://www.cnblogs.com/schut/p/8406897.html Python常见字符编码间的转换 在字符串写入文件时,有时会因编码问题导致无法 ...
- Kinect v2 + WPF获取RGB与Depth图像
date: 2017-09-04 14:51:07 Kinect V2的Depth传感器采用的是「Time of Flight(TOF)」的方式, 通过从投射的红外线反射后返回的时间来取得Depth信 ...
- 黑客高端de浏览器使用秘籍
搜索引擎已经成为上网必不可少的工具之一,聪明的黑客们发现,搜索引擎也能成为发动网络攻击的工具. Google Hacking,原指利用Google搜索引擎搜索信息来进行入侵的技术和行为,如今已不再局限 ...
- 图解AI数学基础 | 概率与统计
作者:韩信子@ShowMeAI 教程地址:http://www.showmeai.tech/tutorials/83 本文地址:http://www.showmeai.tech/article-det ...
- WPF 自定义文本框输入法 IME 跟随光标
本文告诉大家在 WPF 写一个自定义的文本框,如何实现让输入法跟随光标 本文非小白向,本文适合想开发自定义的文本框,从底层开始开发的文本库的伙伴.在开始之前,期望了解了文本库开发的基础知识 本文实现的 ...
- Understanding JSON Schema
json schema 在线校验器 译自:Understanding JSON Schema { "type": "object", "propert ...
- RENIX报文字段跳变——网络测试仪实操
什么是报文字段跳变? 报文字段跳变是指字段的值进行一些列有规则的变化,Renix支持对字段进行递增.递减.列表和随机变化. 如当用户想要仿真大量的源IP变化的数据时,就可以使用Modifier进行规则 ...