POJ - 1061 青蛙的约会 扩展欧几里得 + （贝祖公式）最小正整数解

题意：

青蛙 A 和 青蛙 B ，在同一纬度按照相同方向跳跃相同步数，A的起点为X ，每一步距离为m，B的起点为Y，每一步距离为 n，一圈的长度为L，求最小跳跃步数。

思路：

一开始按照追击问题来写，结果发现会求出来小数，而且按照追击问题写的话，一圈就能相遇，但是！青蛙的步数可没有小数，而且青蛙是跳跃的，显然不能在空中相遇吧。

所以咧，先列出一个追击的式子 ,设步数为 t ,整数为K(转了K圈以后他们才到同一个地方)

t * m + x = t * n + y + k * L ===> t * ( n - m ) + k * L = x - y

贝祖公式 a * x +b * y = gcd ( a , b )

当 a * x +b * y = W 时，W % gcd(a,b) = = 0

x 的最小正整数解就是要求的答案

再看扩展欧几里得

long long exgcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long r=exgcd(b,a%b);
    long long temp=x;
    x=y;
    y=(temp-a/b*y);
    return r;
}

在求a , b 的最大公约数的时候 a % b = a - (a / b) * b

a * x + b * y =gcd（a,b） ==> b * x1 + a%b * y1 = gcd( a , b )

展开得 ：a * y1 +b[ x1 - ( a / b) * y1 ] = gcd( a , b )

可得 x = y1 , y= [ x1 - ( a / b) * y1 ] ;

当余数为也就是b 为 0，返回值 为 a，根据 a * x + b * y =gcd（a,b），x=1,y=0，在通过递归的回溯，计算上一个状态的 x 和 y。

最后求得的 x 可能是负数那就要找最小正整数解。

当一组解为（x, y ）,那么通解公式就是 （x+b/gcd , y + a/gcd）

b/gcd 为整数的时候，它是x的解的一个周期，根据这个周期找到第一个正整数。

            long long t=l/k;//根据通解公式 (x1,y1)为一组通解，则（x1+b/gcd*k,y1+a/gcd*k）也是解
           if(t<0)//x的解得周期为b/gcd  y的解的周期 a/gcd  则任意解 x 对b/gcd取模，得出最小解，取正就ok了
                t=-1*t;
            printf("%lld\n",(x%t+t)%t);//取模运算 带入数字，x=-5,t=3,去理解

看代码：

">long long x;long long y;
long long exgcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long r=exgcd(b,a%b);
    long long temp=x;
    x=y;
    y=(temp-a/b*y);
    return r;
}
int main()
{
    long long n,m,l,a,b;
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l))
    {
        b=m-n;
        a=y-x;
        long long k=exgcd(b,l);
        if(a%k)
            printf("Impossible\n");
        else
        {
            x=x*a/k;
            long long t=l/k;//根据通解公式 (x1,y1)为一组通解，则（x1+b/gcd*k,y1+a/gcd*k）也是解
           if(t<0)//x的解得周期为b/gcd  y的解的周期 a/gcd  则任意解 x 对b/gcd取模，得出最小解，取正就ok了
                t=-1*t;
            printf("%lld\n",(x%t+t)%t);
        }
    }
    return 0;
}