Tarjan算法与割点割边

Tarjan算法与无向图的连通性

目录

• Tarjan算法与无向图的连通性
  • 1：基础概念
  • 2：Tarjan判断割点
  • 3：Tarjan判断割边

1：基础概念

在说Tarjan算法求解无向图的连通性之前，先来说几个概念：

<1. 时间戳：在图的深度优先遍历中，按照每一个结点第一次被访问到的时间顺序，依次给予N个结点1~N的整数边集，该标记就被计位“时间戳”，计做 \(dfn[x]\)。

<2. 搜索树：任选一个结点深度优先遍历，每个点只访问一次。产生递归的边构成的树为搜索树。

❤️. \(subtree(x)\)：搜索树中以x为根的子树。

<4. 追溯值：追溯值(\(low[x]\))定义为以下结点的时间戳的最小值，这些结点满足：

①：是\(subtree(x)\)的结点； ②：通过一条不在搜索树上的边，能够到达\(subtree(x)\)的结点

在了解概念之后，我们可以根据定义来计算\(low[x]\)：

令\(low[x]=dfn[x]\)；然后考虑每个从x的出边( x, y )，如果x是y的父节点，则\(low[x]=min(low[x],low[y])\)；如果边不是搜索树上的边，则令\(low[x]=min(lwo[x],dfn[y])\)； //ps:后面代码也会提到

2：Tarjan判断割点

判定定理：对于一个点 x ；如果x不为根节点，那么x是割点当且仅当搜索树上存在x 的一个子节点y，满足：

\[dfn[x]<=low[y]
\]

如果x是根节点，那么搜索树上至少存在两个子节点满足上述性质。

代码模板（求割点个数，及从小到大输出）：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int head[maxn],n,m,tot;
struct Edge
{
	int nex,to;
}edge[maxn<<1];
void add(int from,int to)
{
	edge[++tot].to=to;
	edge[tot].nex=head[from];
	head[from]=tot;
}
int dfn[maxn],low[maxn],st[maxn],idx,root;
bool cut[maxn];
void tarjan(int u)							//tarjan求一下dfn和low
{
	dfn[u] = low[u] = ++idx;				//初始化dfn和low
	int flag=0;
	for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nex)
	{
		int v=edge[i].to;
		if(dfn[v])	low[u]=min(low[u],dfn[v]);	//定义，追溯值为子树最小的时间戳
		else{
			tarjan(v);							//找子节点的子节点
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(dfn[u]<=low[v]){					//判定条件
				flag++;
				if(u!=root||flag>1)	cut[u]=true;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	tot=0;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int a,b;
		scanf("%d %d",&a,&b);
		if(a==b)	continue;
		add(a,b);
		add(b,a);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(!dfn[i]){
			root=i;
			tarjan(i);
		}
	}
	int res=0;				//个数
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(cut[i])	res++;
	printf("%d\n",res);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(cut[i])	printf("%d ",i);
	printf("\n");
}

如果要求连通分量数，还要写个dfs即可

void dfs(int u)
{
    vis[u]=1;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nex){
        int v=edge[i].to;
        if(vis[v])  continue;
        vis[v]=1;
        dfs(v);
    }
}
for(int i=1;i<=cnt;++i)
{
    if(cut[i])
    {
        int son=0;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        vis[i]=1;
        for(int j=head[i];j!=-1;j=edge[j].nex){
            int v=edge[j].to;
            if(vis[v])  continue;
            dfs(v);
            son++;
        }
        printf("%d\n",son);	//son为连通分量数
    }
}

3：Tarjan判断割边

割边判断法则：无向边（x,y）是桥当且仅当搜索树上存在 x 的一个子节点 y ，满足：

\[dfn[x]<low[y]
\]

与割点不同的是，这里不能取等号。这个不等式其实也很好理解，根据定义\(dfn[x]<low[y]\)说明从\(subtree(y)\)出发，在不经过边\(（x,y）\)的前提下，不管走哪条边，都无法到达x或比x更早访问的结点。若把边\(（x,y）\)删除，则\(subtree(y)\)就像是形成了一个封闭环境，因此边\(（x,y）\)是割边。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
struct Edge
{
	int nex,to;
}edge[maxn<<1];
int n,m,tot,head[maxn];
void add(int from,int to)		//这里边从下标为2开始存方便异或处理
{
	edge[++tot].to=to;
	edge[tot].nex=head[from];
	head[from]=tot;
}
int bridge[maxn<<1],dfn[maxn],low[maxn],idx;
void tarjan(int u,int fa)
{
	dfn[u]=low[u]=++idx;
	for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nex)
	{
		int v=edge[i].to;
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v,i);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(dfn[u]<low[v])	bridge[i]=bridge[i^1]=true;
		}
		else if(i!=(fa^1))	low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	tot=1;							//注意边的下标从2开始储存
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int a,b;
		scanf("%d %d",&a,&b);
		add(a,b);
		add(b,a);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(!dfn[i])	tarjan(i,-1);
	for(int i=2;i<=tot;i+=2)
		if(bridge[i])	printf("%d %d\n",edge[i].to,edge[i^1].to);
	system("pause");
}

【题意】：给了一幅图，问需要加几条边将这幅图所有的结点都在环上（可能在不同的环上）

求一下割边，判断一下叶结点的数量，答案即为(num+1)>>1；看代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int maxn=1e4+10;
int head[maxn],tot;
struct Edge
{
    int from,nex,to;
}edge[maxn<<1];
void add(int from,int to)
{
    edge[++tot].to=to;
    edge[tot].from=from;
    edge[tot].nex=head[from];
    head[from]=tot;
}
int dfn[maxn],low[maxn],idx;
bool bridge[maxn];
void tarjan(int u,int fa)           //求割边（桥）
{
    dfn[u]=low[u]=++idx;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nex)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,i);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(dfn[u]<low[v]){
                bridge[i]=bridge[i^1]=true;
            }
        }
        else if(i!=(fa^1))  low[u]=min(low[u],dfn[v]);		//异或打括号！！
    }
}
int n,m,outd[maxn],id[maxn],dcc;     //id为双连通分量编号，outd为出度
void dfs(int u)                      //跑一遍dfs求一下各个边的双连通分量编号
{
    id[u]=dcc;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nex)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(bridge[i]||id[v])  continue; //双连通分量不包括桥
        dfs(v);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    tot=1;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(!dfn[i]) tarjan(i,-1);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(!id[i]){
            dcc++;
            dfs(i);
        }
    for(int i=2;i<=tot;i+=2)
    {
        int u=edge[i].from,v=edge[i].to;
        if(id[u]!=id[v]){
            outd[id[u]]++;
            outd[id[v]]++;
        }
    }
    int ans=0;                  //叶子结点数量
    for(int i=1;i<=dcc;++i)
        if(outd[i]==1)  ans++;
    printf("%d\n",(ans+1)>>1);
}