JZOJ 3526. 【NOIP2013模拟11.7A组】不等式(solve)

3526. 【NOIP2013模拟11.7A组】不等式(solve)

(File IO): input:solve.in output:solve.out

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Description

小z热衷于数学。

今天数学课的内容是解不等式：L<=S*x<=R。小z心想这也太简单了，不禁陷入了深深的思考：假如已知L、R、S、M，满足L<=(S*x)mod M<=R的最小正整数x该怎么求呢？

Input

第一行包含一个整数T，表示数据组数，接下来是T行，每行为四个正整数M、S、L、R。

Output

对于每组数据，输出满足要求的x值，若不存在，输出-1。

Sample Input

1

5 4 2 3

Sample Output

2

Data Constraint

30%的数据中保证有解并且答案小于等于10^6；

另外20%的数据中保证L=R；

100%的数据中T<=100，M、S、L、R<=10^9。

题解

这道题网上有很多一样的题解，看了好久才明白，其实这题就是用类欧思想

题目所给的式子是

L≤(S∗x) mod M≤R

显然，若存在一个x满足L≤S∗x≤R，那么答案就是x

如果不存在，转化题目那条式子

L≤(S∗x) mod M≤R

⇒L≤S∗x−M∗y≤R

⇒−R≤M∗y−S∗x≤−L

⇒(−R mod S)≤(M∗y) mod S≤(−L mod S)

若能求出y，那么自然x就知道了，因为区间[L,R]中没有x的倍数

然后我们就可以用类欧几里得来求解了

之所以叫类欧，是因为欧几里得算法是用gcd(b,a mod b)来求gcd(a,b)

这题也类似

定义x=dfs(M,S,L,R)，那么y=dfs(M,S,−R mod S+S,−L mod S+S)

于是

x=R+⌊M∗yS⌋

边界条件好多，具体可以看代码

代码

#include<cstdio>

long long dfs(long m,long s,long l,long r)
{   long long x,y;
    if(l==0)return 0;
    if(l>=m||l>r||s%m==0)return -1;
    s%=m;
    x=((l-1)/s)+1;
    if(x*s<=r)
        return x;
    y=dfs(s,m,(-r)%s+s,(-l)%s+s);
    if(y==-1)return -1;
    x=(r+m*y)/s;
    if(s*x-m*y>=l)return (x%m+m)%m;
    else return -1;
}

int main()
{   long tot,m,s,l,r;
    freopen("solve.in","r",stdin);
    freopen("solve.out","w",stdout);
    scanf("%ld",&tot);
    while(tot--){
        scanf("%ld%ld%ld%ld",&m,&s,&l,&r);
        if(r>=m)r=m-1;
        printf("%lld\n",dfs(m,s,l,r));
    }
    return 0;
}