浅谈动态规划(Dynamic Programming)

利用Leetcode#198打劫家舍 浅谈动态规划

Origin:https://leetcode-cn.com/problems/house-robber/

• 题目本身不难，就是一个动态规划的问题。在这里浅谈一下动态规划的精髓思想，适用范围。

• 动态规划的定义大家在网上随便都可以搜到。但是我们要怎么理解和应用动态规划。即我们遇到问题的时候，要怎么才能“想到”动态规划呢？

  1. 可以将一个问题，拆分成几个子问题。
     • 这不废话吗？任何问题都可以拆分成很多个子问题，那凭什么动态规划那么牛逼呢？
  2. 解决这几个子问题，即可得到最终问题的解。
     • 那这是怎么实现的呢？
     • 例如，假设我要求f(n)的最大值，只需要知道f(n-1)和f(n-2)的最大值。
       • 于是，上面简简单单一句话，透露了动态规划的很多信息。
         1. f(n)只和f(n-1), f(n-2)的值有关系。
         2. 我们只关心数值本身，不需要详细的知道f(n)是怎么来的，简化思维过程。

• 所以，由此可见，动态规划解题的性质即：把求解f(n)转换为求解与其相关的f(p)

• 那么问题又来了，我如何判断一个问题能不能用动态规划解决呢？下面介绍两个概念

• 无后效性

  • 定义：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。

  • 例如，求斐波那契数列第N项。我们都知道递归公式 f(n) = f(n-1) + f(n-2)，那么我们求f(n)的所有所需条件就是知道f(n-1)和f(n-2)，我们不需要知道。

    过去的内容不会影响将来的内容，这就是无后效性的本质。

• 最优子结构

  • 这里用背包问题来讲解

  • 背包问题：有一个背包，他的容量为C(Capacity)。现在有n中不同的物品，编号为0…n-1，其中每一件物品的重量为w(i)，价值为v(i)。问可以向这个背包中盛放哪些物品，使得在不超过背包容量C的基础上，物品的总价值最大。

  • 动态规划是解决背包问题最常用的方法，把问题的转态描述为：F(n,C)考虑将n个物品放进容量为C的背包，使得价值最大。

  • 而对于F(i,c)，有两种情况，将第i个物品加入和直接忽略第i个物品

    F(i,C) = max{F(i-1, C), v(i) + F(i-1, C-w(i))}
    

    前者即为忽略第i个物品，后者即添加第i个物品。

  • 那么，这和最优子结构有什么关系呢？注意我们的定义，F(n,C)考虑将n个物品放进容量为C的背包，使得价值最大。不难发现，F(n,C)的定义已经是最大价值了，那么已经是当前小问题的最优解了。最终问题的最优解可以由小问题的最优解得到，这个性质叫做最优子结构。

• 只要一个问题有 无后效性 和 最优子结构，就可以用动态规划解决。

• 那最后，我知道要用动态规划了，我要怎么设计呢？

  • 记住三个词语
    • 目标
    • 状态
    • 转移
  • 目标即我要干嘛？我要干嘛，在背包问题中，我要使一定容量的包装最值钱的东西。设这样的函数为 F(i, c)。
  • 状态即怎么描述当前的局面。对于任意一次拿物品，当前的背包还剩k空间，我们目标都是求得F(i, k)。
  • 转移是紧跟着状态的，找出F(i, k)与哪些局面有关系，记为p，写出状态转移方程，通过F(p)来求解 F(i, k)。

  转自知乎@阮行止

  设计DP算法，往往可以遵循DP三连：

  　　我是谁？ ——设计状态，表示局面
  
  　　我从哪里来？
  
  　　我要到哪里去？ ——设计转移

  　　设计状态是DP的基础。接下来的设计转移，有两种方式：一种是考虑我从哪里来；另一种是考虑我到哪里去，这常见于求出f(x)之后，更新能从x走到的一些解。这种DP也是不少的，我们以后会遇到。