循环神经网络中BFTT的公式推导

一、变量定义

　　此文是我学习BFTT算法的笔记，参考了雷明《机器学习与应用》中的BFTT算法推导，将该本书若干个推导串联起来，下列所有公式都是结合书和资料，手动在PPT上码的，很费时间，但是也加深了自己的理解。

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　

二、几个预备知识

　　（1） 乘法⊙为向量对应元素相乘

　　（2） 复合函数求导：

　　　　a. 　 假设有函数,假设有f(y)，如果把x看成常数，y看成W的函数，则有：

　　　　　　

　　　　　　b.　  如果将将W看成常数，y将看成x的函数，则有：

　　　　　　

　　　　　     c.　如果有向量到向量的映射：

　　　　　　

　　　　　　对于函数 f(y), 有

　　　　　　

三、完整的算法推导

　　首先，只有一个循环层和一个输出层的循环神经网络正向传播时的变化为:　　

　    

　　

　　损失函数的定义和全连接网络、卷积网络不同。全连接网络和卷积网络的各个训练样本之间没有关系，损失函数是所有样本损失的均值。循环神经网络的单个样本是一个时间序列，每个时刻都有损失，T 为时间序列的长度，因此损失函数定义为沿着时间轴累加：

　　

　　上式中的 L_t 为 t 时刻的损失函数，定义为：

　　

　　循环神经网络的反向传播时基于时间轴进行的，我们需要计算所有时刻的总损失函数对所有参数的梯度，然后用梯度下降法进行更新。另外需要注意的事循环神经网络在各个时刻的权重，偏置都是相同。

　　由式(3)结合二中复合函数求导，首先计算输出层偏置项的梯度：

　    

　　由式(3)结合复合函数求导，如果选择 softmax 作为输出层的激活函数，交叉熵作为损失函数，上面的梯度为：

　    

　　由式(3)结合复合函数求导，对权重矩阵的梯度为：

　    

　　下面考虑循环层。由（1）式+（2）式，得到：

　　

　　由推导3 + 式（1）的结论，有：

　  

　　 由此建立了 与  之间的递推关系。定义误差项为：

　　在整个损失函数 L 中，比 t 更早的时刻1，2，…，t - 1 的损失函数不含有 u_t ，因此与它无关； L_t 由  u_t  决定，和它直接相关；比 t 晚的时刻的  u_t+1  ，u_t+2，…，  u_t+n 都与  u_t  有关。因此有：

　

　　 而

　  

　　把 式15 代入 式14)得到：

　 

　　由此建立了误差项沿时间轴的递推公式。可以类比前馈型神经网络，在前馈型神经网络中，通过后面的误差项计算本层误差项。在循环神经网络中，通过后一个时刻的误差项来计算当前时刻的误差项。递推的终点是最后一个时刻的误差：

　 

　　根据误差项可以计算出损失函数对权重的偏置的梯度。整个损失函数 L 是 u₁  ，u_2，…，  u_T  的函数，而它们都是权重和偏置的函数。根据链式法则，结合式10、12，有：

　

　　类似地：

　　对偏置项的梯度为：

　 

四、BFTT算法流程

　　计算出对所有权重和偏置的梯度之后，由此可以得到BPTT算法的流程：

　　循环，对 t = 1，2，…，T

　　　　对（x_{t ，}y_t）进行正向传播

　　结束循环

　　计算出输出层权重和偏置的梯度

　　用梯度下降法更新输出层权重和偏置的值

　　循环，反向传播，对 t = T，…，2 , 1

　　　　计算误差项 δ_t

　　　　根据误差项计算循环层权重和偏置的梯度

　　　　用梯度下降法更新循环层权重和偏置的值

　　结束循环