vijos1090题解

题目：

有n个正整数排成一行。你的目的是要从中取出一个或连续的若干个数，使它们的和能够被k整除。

例如，有6个正整数，它们依次为1、2、6、3、7、4。若k=3，则你可以取出1、2、6，或者2、6、3、7，也可以仅仅取出一个6或者3使你所取的数之和能被3整除。当然，满足要求的取法不止以上这4种。事实上，一共有7种取法满足要求。

给定n和k，以及这n个数。你的任务就是确定，从这n个数中取出其中一个数或者若干连续的数使它们的和能被k整除有多少方法。

由于取法可能很多，因此你只需要输出它mod 1234567的值即可。

此题好像糊里糊涂看了人家的题解，然后就A了。

在这里膜拜那个大牛。

SUM[i]是代表前i个数的和 

当(SUM[i]-SUM[j]) MOD k=0 这时[j+1,i]就是满足的一个区间
一个方案了 

而我们求的是(SUM[i]-SUM[j]) MOD k=0 这样的方案总个数 

我们又可以推出 上式等价于SUM[i] MOD k=SUM[j] MOD k 

所以我们就是求SUM[i] MOD k=SUM[j] MOD k 的方案个数了 



假设 sum[i],sum[j],..sum[k]（共bn个） 都是 MOD k
余数为k-1的sum 

那么从上面bn个sum中任意选取两个就能得出(SUM[i]-SUM[j]) MOD
k=0 

那么在bn个sum中怎么配对呢 



（下面的sum[bn]表示上述bn个sum中的第n个sum） 

很简单 先是sum[b1]与sum[b2] sum[b3] ...sum[bn]
(bn-1 个) 

　　 然后sum[b2]与sum[b3] sum[b4] ...sum[bn]
(bn-2 个) 

　　 然后sum[b3]与sum[b4] sum[b5] ...sum[bn]
(bn-3 个) 

　　 ............ 

　　 最后sum[bn-1]与sum[bn]　　　　　　　　 ( 1 个) 



　　 方案总数=n-1+n-2+n-3+...+1=bn*(bn-1) div
2 

所以 当sum mod k的余数为k-1时有bn*(bn-1) div
2个方案总数了 

就这样依次得出余数为k-1 k-2 k-3 ...0的时候方案总数 再相加一下得出答案 

所以在读入一个数的时候就计算sum然后计算sum mod k 的余数 

而b[j]表示余数为j的sum个数 此时根据上面新得出的更新相应的b[j] 

这样在读入完毕之后就可以根据b[j]直接计算总方案数了 

特别值得注意的是！！！！ 

计算余数为0的方案总数时候还要加上b[0]　　也就是b[0]*(b[0]-1)
div 2+b[0] 

为什么？？ 因为余数为0的时候单独一个sum[i]就能成为一个方案了

还有比如div
2可以用shr 1 这样可以加快速度

var
  g:array[0..1000000] of longint;
  t,p,k,n,i:longint;
  tt,tot,x:int64;

begin
  readln(n,k); tt:=0; tot:=0;
  for i:=0 to k do
    g[i]:=0;
  g[0]:=1;
  for i:=1 to n do
    begin
      read(x);
      tt:=tt+x;
      tt:=tt mod k;
      tot:=(tot+g[tt]) mod 1234567;
      inc(g[tt]);
      g[tt]:=g[tt] mod 1234567;
    end;
  writeln(tot);
end.