循环不变量loop invariant 与 算法的正确性

在论述插入排序的正确性的时候, 书中引入了循环不变量的概念, 刚开始稍微有点不太明白, 早上查了一波资料之后决定把自己的理解记录下来.

什么是循环不变量 ?

在我看来, 所谓循环不变量的就是一个在循环前, 每次循环后(当然也包括循环结束)都成立的性质.

如何证明算法的正确性 ?

首先要知道循环不变量是用来辅助我们证明算法的正确性的. 所以首先我们需要找出能够帮助我们证明算法正确性的性质作为我们的循环不变量(之后给出具体例子). 然后分三个角度进行证明其正确性 :

1. 循环前
2. 每次循环之后
3. 循环结束后

具体的例子 :

为了详细阐述这个论述的过程, 我采用了书中习题2.1-3中的例子 :

输入 : 给出一个数组array以及一个数v

输出 : 若存在array[i] = v, 输出i, 否则输出NIL

给出伪代码并证明其正确性.

for i <- 0 to n - 1
    if array[i] = v
        return i
return NIL

loop invariant : for any [0 .. x < i], there does not exist array[x] = v

Initialization : before the loop i = 0, x < 0 is out of the array bound.

Maintenance : when loop did not terminate, then it's obvious that no array[x] = v in 0 .. i - 1.

Termination : If it terminate because of array[i] = v, then in [0 .. i - 1], there is no array[x] = v; otherwise when i = n, then it is correct for [0 .. n-1], then there is no such x for the whole array.