Proving NP-completeness

　　Proving NP-completeness by generalization. For each of the problems below, prove that it is NP-complete by showing that it is a generalization of some NP-complete problem we have seen in this chapter.

　　(a) SUBGRAPH ISOMORPHISM: Given as input two undirected graphs G and H, determine whether G is a subgraph of H (that is, whether by deleting certain vertices and edges of H we obtain a graph that is, up to renaming of vertices, identical to G), and if so, return the corresponding mapping of V (G) into V (H).

　　(b) LONGEST PATH: Given a graph G and an integer g, find in G a simple path of length g.

　　(c) MAX SAT: Given a CNF formula and an integer g, find a truth assignment that satisfies at least g clauses.

　　(d) DENSE SUBGRAPH: Given a graph and two integers a and b, find a set of a vertices of G such that there are at least b edges between them.

　　(e) SPARSE SUBGRAPH: Given a graph and two integers a and b, find a set of a vertices of G such that there are atmost b edges between them.

　　(f) SET COVER. (This problem generalizes two known NP-complete problems.)

　　(g) RELIABLE NETWORK: We are given two n×n matrices,a distance matrix dij and a connectivity requirement matrix rij, as well as a budget b; we must find a graph G = ({1,2,…,n},E) such that (1) the total cost of all edges is b or less and (2)between any two distinct vertices i and j there are rij vertex-disjoint paths. (Hint: Suppose that all dij’s are 1 or 2, b = n,and all rij’s are 2. Which well known NP-complete problem is this ?)

　　

用一般的方法证明NP完全：利用推广的方法证明NP-完全性。对以下每个问题请通过证明它是本章某个NP-完全问题的推广说明它是NP-完全

的。

　　（a）子图同构：给定两个作为输入的无向图G和H，判断G是否为H的一个子图（即删除H中的某些顶点或边后，所得的新图最多只需再修改某些顶点的名称，即可与G相同），且如果是，返回由V（G）到V（H）相关映射。

　　（b）最长路径：给定图G和整数g，求G中一条长为g的简单路径。

　　（c）最大SAT：给定一个CNF公式和整数g，求满足其中至少g个子句的真赋值。

　　（d）稠密子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最少有b条边。

　　（e）稀疏子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最多有b条边。

　　（f）集合覆盖。（该问题衍生了两个著名的NP-完全问题。）

　　（g）可靠网络：给定两个nxn的矩阵，一个距离矩阵dij，一个连接需求矩阵rij以及预算b。我们要求一个图G=（{1,2，……，n},E）

　　　　使得：

　　　　　　（1）其中所有边的总代价不超过b；

　　　　　　（2）在任意两个不同的顶点i和j之间，存在rij条顶点互不相交的路径。

　　　　　　（提示：假设所有dij都为1和2，b=n，所有的rij=2。这属于哪个著名的NP-完全问题？）

证明：

（a）子图同构：

　　令图G 为一个环，环上的顶点数等于图H 的顶点数。那么若G 是H 的同构子图，则说明H 存在Rudrata 回路（经过图中每个顶点有且仅有一次的回路）。所以可以判断Rudrata回路事实上是子图同构问题的一个特例。所以子图同构是Rudrata回路的推广。

（b）最长路径：

　　如果令g = V −1，即得到一条Rudrata 路径（经过图中每个顶点有且仅有一次的回路）。所以Rudrata路径可以看做是该问题的一个特例。

（c）最大SAT：

　　令g为子句的总数，即成SAT问题，所以最大SAT为SAT问题的一个推广。

（d）稠密子图：

　　令b=a(a-1)/2，此时这a 个顶点两两相连，于是即成最大团问题（图中的每个顶点间均有边相连）。

（e）稀疏子图：

　　令b = 0，即成最大独立集问题（一个顶点集合中的任意两个顶点间均没有边相连）。

（f）集合覆盖。

　　集合覆盖问题是指：包含一个集合U以及U内元素构成的若干各小类集合S，目标是找到S 的一个子集，该子集满足所含元素包含了所有的元素且使小类集合个数最少。

　　如果使U为图中边的集合E，E中元素构成的Si为与顶点i相邻的所有边。这样，集合覆盖问题就转化为了最小顶点覆盖问题。因此集合覆盖问题实际上是最小顶点覆盖问题的推广，故而集合覆盖问题是NP-完全的。

（g）可靠网络：

　　根据提示，可以联系到TSP问题。dij为1时表示两个城市有边，dij为2时表示两个城市没有边；预算b为城市的数目，rij为2，说明任意两点在一个环上。这样，可靠网络问题就转化为了TSP问题。因此可靠网络问题实际上是TSP问题的推广，故而可靠网络问题是NP-完全的。