2021NOI 省选训练赛day1T1 A. light

Problem

有一排$n$个灯，每个灯有一个颜色，用$1$到$m$表示。一开始所有灯都是关着的。

有$q$次操作，每次改变某种颜色的所有灯的状态。每次操作后你需要输出开着的灯组成的极长连续子段的数量。

Subtask 1 (13pts)：$n,q\le5000$。

Subtask 2 (35pts)：$m\le100$。

Subtask 3 (52pts)：无特殊限制。

对于全部数据，$1≤n,q\le 10^5$，$1\le m\le n$。

Solution

这道题的思考过程分为两个部分。

暴力处理。
对于要修改的颜色的灯的数量进行根号分治。

暴力：只有当要修改的灯的两侧的灯的亮灭情况相同时，才会对答案造成影响($\pm1$)

在整个序列上，结论就是连续段数等于开着的灯数减去相邻两个都开着的灯对数。

在这里也可以得出：相邻的两种颜色对答案没有任何的影响。所以预先把相邻的同色灯缩点。

但是这样每修改一次，都需要到对应颜色的灯上统计答案，时间复杂度为$O(n)$（比如缩点之后的序列为1,2,1,2,1,2,1...，一次修改仍然有$\frac n2$次操作）。

设$k=\sqrt n$，如果只是对出现次数小于$k$的颜色进行暴力枚举其位置修改，时间复杂度为$O(\sqrt n)$当然是没有问题的。对于出现次数大于$k$的颜色呢，我们维护与这种颜色相邻的开着的灯的数量(记为$f_{i,j}$表示一种出现次数大于$k$的颜色$j$的旁边有多少个颜色为$i$的灯泡)。每当我们改变一种出现次数大于$k$的颜色是时，使用这个算答案；修改一种出现次数小于$k$的颜色时就暴力枚举其位置并维护好$f_{i,j}$。

Code

/**************************************************************

 * Problem: A. light-Revision

 * Author: Vanilla_chan

 * Date: 20210309

**************************************************************/

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<map>

#include<set>

#include<queue>

#include<vector>

#include<limits.h>

#define IL inline

#define re register

#define LL long long

#define ULL unsigned long long

#ifdef TH

#define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);

#else

#define debug

#endif

#ifdef ONLINE_JUDGE

char buf[1<<23],* p1=buf,* p2=buf,obuf[1<<23],* O=obuf;

#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)

#endif

using namespace std;

template<class T>inline void read(T& x)

{

	char ch=getchar();

	int fu;

	while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

	if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

	x=ch-'0';ch=getchar();

	while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0';ch=getchar(); }

	x*=fu;

}

inline int read()

{

	int x=0,fu=1;

	char ch=getchar();

	while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

	if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

	x=ch-'0';ch=getchar();

	while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0';ch=getchar(); }

	return x*fu;

}

int G[55];

template<class T>inline void write(T x)

{

	int g=0;

	if(x<0) x=-x,putchar('-');

	do { G[++g]=x%10;x/=10; } while(x);

	for(int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('\n');

}

#define N 200010

#define S 778

int n,m,q;

int a[N],b[N];

vector<int>c[N];

bool book[N];

int ans,x,s,k;

int cnt[N];

int id[N],idcnt,pos[N];

int g0[N],g1[N];

int f[N][S];

int main()

{

//	freopen("ex_light1.in","r",stdin);

//	freopen("A.out","w",stdout);

	n=read();

	m=read();

	q=read();

	for(int i=1;i<=n;i++)

	{

		b[i]=read();

	}

	//temp int cnt

	{

		int cnt=0;

		for(int i=1;i<=n;i++)

		{

			if(i==1||b[i]!=b[i-1])

			{

				a[++cnt]=b[i];

			}

		}

//		for(int i=1;i<=cnt;i++) cout<<a[i]<<" ";

		n=cnt;

	}

	a[0]=a[n+1]=m+1;

	k=s=sqrt(n);

	for(int i=0;i<=n+1;i++)

	{

		cnt[a[i]]++;

	}

	for(int i=1;i<=m+1;i++)

	{

		if(cnt[i]>k)

		{

			id[i]=++idcnt,pos[idcnt]=i;

		}

	}

	for(int i=0;i<=n+1;i++)

	{

		if(cnt[a[i]]<=k)

		{

			if(i) g0[a[i-1]]++;

			if(i!=n+1) g0[a[i+1]]++;

			c[a[i]].push_back(i);

		}

		else

		{

			if(i) f[a[i-1]][id[a[i]]]++;

			if(i!=n+1) f[a[i+1]][id[a[i]]]++;

		}

	}

	while(q--)

	{

		int t0=0,t1=0;

		x=read();

		book[x]^=1;

		for(int i=1;i<=idcnt;i++)

		{

			if(book[pos[i]]) t1+=f[x][i];

			else t0+=f[x][i];

		}

		if(book[x]==0)

		{

			ans=ans-g0[x]-t0+g1[x]+t1;

		}

		else

		{

			ans=ans-g1[x]-t1+g0[x]+t0;

		}

		write(ans/2);

		//change

		if(cnt[x]<=k)

		{

			for(int i=0;i<c[x].size();i++)

			{

				if(book[x])

				{

					if(c[x][i]!=0) g1[a[c[x][i]-1]]++,g0[a[c[x][i]-1]]--;

					if(c[x][i]!=n+1) g1[a[c[x][i]+1]]++,g0[a[c[x][i]+1]]--;

				}

				else

				{

					if(c[x][i]!=0) g1[a[c[x][i]-1]]--,g0[a[c[x][i]-1]]++;

					if(c[x][i]!=n+1) g1[a[c[x][i]+1]]--,g0[a[c[x][i]+1]]++;

				}

			}

		}

	}

	return 0;

}