dij费用流/Johnson Reweighting

dij费用流/Johnson Reweighting

我们一般敲的费用流都是套\(SPFA\)的\(dinic\)，这是因为会有负边权，\(dij\)做不了，考虑能不能动点手脚使得我们的边权变成正的

可能会直接想到给每条边+\(INF\)，这显然有点难蚌

\(Johnson\ Reweighting\)就是用来解决这个问题的

考虑给每个点赋一个点权\(h[x]\)，表示\(S\)走到\(x\)的最短路的长度，我们现在让边\((u,v,w)\)的权变成\(w+h[u]-h[v]\)，因为\(h\)是最短距离，所以显然这个值\(\geq 0\)，且这样直接跑\(dij\)得到的\(S\)到\(T\)的最短路距离\(v\)加上\(-dis[S]+dis[T]\)就是真正的最短路距离

那么考虑怎么快速得到这个\(h\)，显然第一次就直接跑个\(SPFA\)，考虑后面怎么办

对于第\(i\)（\(i>1\)）次跑\(dij\)时，记\(h_i\)表示跑完第\(i\)次\(dij\)后的最短路

显然我们想用\(h_i\)来操作第\(i\)次\(dij\)，但显然这不现实

发现就用\(h_{i-1}\)来操作的话，所有边权也都是非负的，因为对于第\(i-1\)次\(dij\)，它会改变的边\((u,v,w)\)满足\(w+h[u]-h[v]=0\)

复杂度是\(O(F(M+NlogN))\)，好像\(OI\)里一般常写成\(O(F(N+M)logN)\)

模板（https://www.luogu.com.cn/problem/P3381）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e3+5,M=5e4+5,INF=1e9;
int n,m,S,T;
int head[N],cnt=1;
struct node{ int nxt,v,val,w; }tree[M<<1];
void add(int u,int v,int val,int w){
    tree[++cnt]={head[u],v,val,w},head[u]=cnt;
    tree[++cnt]={head[v],u,0,-w},head[v]=cnt;
}
int dis[N]; bool vis[N];
void spfa(){
    for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=INF;
    dis[S]=0; queue<int> q; q.push(S);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front(); q.pop(),vis[x]=false;
        for(int i=head[x],y;i;i=tree[i].nxt) if(tree[i].val&&dis[y=tree[i].v]>dis[x]+tree[i].w){
            dis[y]=dis[x]+tree[i].w;
            if(!vis[y]) q.push(y),vis[y]=true;
        }
    }
}
struct use{
    int x,d;
    bool operator < (const use &other)const{
        return d>other.d;
    }
};
int h[N],fr[N],ans,ans1;
bool dij(){
    priority_queue<use> q;
    for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=INF,vis[i]=false;
    q.push({S,dis[S]=0});
    while(!q.empty()){
        int x=q.top().x; q.pop();
        if(vis[x]) continue;
        vis[x]=true;
        for(int i=head[x],y;i;i=tree[i].nxt) if(tree[i].val&&!vis[y=tree[i].v]){
            int t=dis[x]+tree[i].w+h[x]-h[y];
            if(t<dis[y]) dis[y]=t,fr[y]=i,q.push({y,dis[y]});
        }
    }
    if(dis[T]==INF) return false;
    int mn=INF;
    for(int x=T,i=fr[x];x!=S;x=tree[i^1].v,i=fr[x]) mn=min(mn,tree[i].val);
    ans+=mn;
    for(int x=T,i=fr[x];x!=S;x=tree[i^1].v,i=fr[x]) tree[i].val-=mn,tree[i^1].val+=mn,ans1+=mn*tree[i].w;
    for(int i=1;i<=n;++i) if(dis[i]<INF) h[i]+=dis[i];
    return true;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
    for(int i=1,u,v,val,w;i<=m;++i) scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&val,&w),add(u,v,val,w);
    spfa(); for(int i=1;i<=n;++i) h[i]=dis[i];
    while(dij());
    printf("%d %d\n",ans,ans1);

    return 0;
}