快速傅里叶变换(FFT) 笔记

2.upd.2025.7.10

oi.polo.fft

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)

FFT三问：

1.什么是FFT

• 一个快速处理卷积的算法

2.什么是卷积

• 就是多项式乘法

3.FFT有多快

• 常规卷积或是DFT时间复杂度为\(O(n^2)\),而FFT为\(O(nlog_2n)\),比常规卷积快了将近一阶

算法实现：

$Chapter1: $ 首先我们先来看两种多项式的表示形式

1.记录系数

2.记录点

首先我们先来看1.记录系数:

假设我现在有一个多项式叫做\(P(x)\)，它有\(n\)个系数(n项)

那么不难发现它代数形式肯定能写成:

\(P(x) = a_0 +a_1x+a_2x+...+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-1}x^{n-1}\)

因此我记录\(P(x)\)也只需要记录其系数\({\{a_n\}}\)序列

我们再来看2.记录点

我们都学过待定系数法

因此我们知道对于一个\(n\)次函数，我们只需要取\(n+1\)个点就可以求出这个函数的代数式了！

所以我们只要记录\(n\)个点就可以表示这个\(n\)项多项式\(P(x)\)了

$Chapter2: $这两种存储方式该如何进行卷积运算？

1.记录系数方式的卷积：

很简单，我们直接用乘法分配律去算，但是对于两个项数为\(n\)的多项式，这样做的时间复杂度为\(O(n^2)\), 非常菜

2.记录点坐标方式的卷积：

设\(n\)阶多项式\(F(x)\)与\(m\)阶多项式\(G(x)\)相乘，结果为\(n+m\)阶多项式\(P(x)\) \(\Rightarrow\) \(P(x) = F(x)*G(x)\)

因此我们取\(F(x)\)和\(G(x)\)共\(n+m\)个点,将每一个点\((x_0,F(x))\)和\((x_0,G(x))\)相乘，得到\((x_0,F(x)*G(x)),这个点一定在P(x)上\)

但是我们发现取点需要\(O(n)\),计算需要\(O(n)\),总共还是要\(O(n^2)\),目前我们优化卷积还是毫无进展

$Chapter3: $对于记录点坐标方式卷积的优化

假设我现在要对于\(F(x)=x^2+1\)取\(m\)个点，我们要怎么做呢

一种方法是直接简单的取m个点,如取\(x=1,2,3,...,m\),并分别计算\(F(x)\),需要算2*m次(2为F(x)的项数)

但是我们思考\(F(x)\)的性质,它是一个偶函数欸!

\(F(x) = F(-x)\)

因此如果我们取 \(\pm 1,\pm2\)这样,我们计算出\(F(x)\)就相当于计算出了\(F(-x)\)!,要算\(m\)次

同理，对于奇函数我们也是如此

但是万一我的函数非奇非偶呢？？？

给定多项式\(F(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}\),为方便讨论我们假设\(n\)为偶数

我们有什么办法给\(F(x)\)施加奇偶性呢？

我们按照\(x\)的次数分为两类:

\(F(x) = (a_0 +a_2x^2+a_4x^4+...+a_nx^n) + (a_1x+a_3x^3+...+a_{n-1}x^{n-1})\)

我们令\(F_{even}(x^2)=a_0+a_2x^2+a_4x^4 + ...+a_nx^n,F_{odd}(x^2)=a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\)

\(F(x)=F_{even}(x^2) + xF_{odd}(x^2)\)!

\(F(-x)=F_{even}(x^2) - xF_{odd}(x^2)\)

我们不难发现现在我们的\(F(x)\)被拆成了一个偶函数\(F_{even}(x^2)\)和一个奇函数\(xF_{odd}(x^2)\)

现在我们对于取的点\((x_0,F(x_0))\)计算出\(F_{even}(x_0^2)\)和\(F_{odd}(x_0^2)\)后相加可得\(F(x)\),相减可得\(F(-x)\)

那我们怎么计算\(F_{even}(x_0^2)\)和\(F_{odd}(x_0^2)\)?

这不就是一个递归嘛，将\(x_0^2\)看作变量，继续来一遍拆分，直到我的函数只有常数项为止，由主定理可得时间复杂度为\(O(nlog_2n)\)

但是，我有\(x_0^2\)啊，原来的\(\pm x_0\)都会变成\(x_0^2\),我在递归去求子函数的值的时候取点全会变成正的，无法正负取点了，所以递归无法进行。

\(Chapter4:\) 数域推广

现在我们需要寻找一类数\(S\),满足\(\forall x \in S,-x \in S\)且对于由\(\forall x \in S, x^2\)构成的集合\(S'\)和\(S\)满足同样的性质

实数无法满足的原因是你无法在\(S'\)中找到\(-x\),因此我们将数域推广至复数

以前的注意力大神发现了单位根 就满足这样的性质

什么是单位根？

单位根\(\{\omega_n\}\)就是在复数域下所有满足 \(x^n=1\)的\(x\)构成的集合

我们不难发现\(\{\omega_n\}\)将复平面上的单位圆进行了\(n\)等分,所以我们可以得到单位根的表达式:

\(\omega^k_n = cos\theta+isin\theta,\theta=\frac{2\pi k}{n}\)

我们这个时候取点取\(\{\omega_n\}\)就可以满足条件了

\(Chapter5:\) FFT完全版

• 对于n项多项式\(F(x)\)取\(n\)次单位根为点
• 分奇偶函数递归计算\(F(\omega_n^i)\)
• 同样计算\(G(x)\)
• 将\(G(x)\)与\(F(x)\)以点坐标形式相乘

这就是FFT，很简单吧

但是我们发现这离结果还远着呢，所以我们需要从点表示转换为系数表示，因此我们需要插值操作

\(Chapter6:\) 插值

我们将待定系数列的方程组写为矩阵形式(\(P(x)\)系数为\(\{a_n\}\))

\(
{\begin{bmatrix}
P(\omega^0) \\\\
P(\omega^1) \\\\
P(\omega^2) \\\\
\vdots \\\\
P(\omega^{n-1}) \\\\
\end{bmatrix}} = {\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & ... &1\\\\
1 & \omega & \omega^2 & ... & \omega^{n-1}\\\\
1&\omega^2&\omega^4&...&\omega^{2
(n-1)}\\\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\
1&\omega^{n-1}&\omega^{2(n-1)}&...&\omega^{(n-1)(n-1)}
\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}
a_0 \\\\
a_1\\\\
a_2 \\\\
\vdots \\\\
a_{n-1} \\\\
\end{bmatrix}}
\)

移项将\(\{a_n\}\)解出

\(
{\begin{bmatrix}
a_0 \\\\
a_1\\\\
a_2 \\\\
\vdots \\\\
a_{n-1}
\end{bmatrix}} = {\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & ... &1\\\\
1 & \omega & \omega^2 & ... & \omega^{n-1}\\\\
1&\omega^2&\omega^4&...&\omega^{2
(n-1)}\\\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\
1&\omega^{n-1}&\omega^{2(n-1)}&...&\omega^{(n-1)(n-1)}
\end{bmatrix}}^{-1} {\begin{bmatrix}
P(\omega^0) \\\\
P(\omega^1) \\\\
P(\omega^2) \\\\
\vdots \\\\
P(\omega^{n-1})
\end{bmatrix}}
\)

我们发现中间的那个矩阵为DFT(离散傅里叶变换)矩阵,因此可得

\(
{\begin{bmatrix}
a_0 \\\\
a_1\\\\
a_2 \\\\
\vdots \\\\
a_{n-1}
\end{bmatrix}} = \frac{1}{n}{\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & ... &1\\\\
1 & \omega^{-1} & \omega^{-2} & ... & \omega^{-(n-1)}\\\\
1&\omega^{-2}&\omega^{-4}&...&\omega^{-2
(n-1)}\\\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\
1&\omega^{-(n-1)}&\omega^{-2(n-1)}&...&\omega^{-(n-1)(n-1)}
\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}
P(\omega^0) \\\\
P(\omega^1) \\\\
P(\omega^2) \\\\
\vdots \\\\
P(\omega^{n-1})
\end{bmatrix}}
\)

然后我们发现我们只需要求解这个矩阵乘法即可

矩阵乘法是什么？卷积，卷积是什么？多项式乘法

因此我们再FFT一遍就行了

end.