[题解]LGR-180 Div.3 B&C

两道趣题。

（抽象的是\(C\)是原题，HDU2147，巴什博弈）

T2 ChS

赛时思路

一开始想的是用排列组合做，但是发现表示状态太麻烦，所以就想到做减法。

用\(fac\)表示总个数\(26^n\)；用\(c1\)表示一个\(ab\)都没有的个数\(24^n\)；用\(c2\)表示至少包含一个\(a\)的个数\(fac-25^n\)（即\(总数-一个a没有的\)）。

偶然发现有点容斥的味道，答案就是\(c1-2*c2-fac\)。

题解思路

先写出总个数：\(26^n\)。

然后，\(a\)和\(b\)都不包含的个数：\(24^n\)。

再表示出没有\(a\)和没有\(b\)的个数：都是\(25^n\)。

也是容斥，答案为\(26^n-2*25^n+24^n\)。

注意

• 别忘取模。
• 开long long。
• 需要注意的是，做了减法运算可能得出负数，而负数再取模会发生问题，所以可以用以下方法解决：
  • 赛时：手写一下\(mod\)，使取模的结果非负（调了我半天呜呜呜）。
  • 题解：直接加一个\(mod\)再模，因为考虑最坏情况\(0-998244352=-998244352\)，所以加一个就能保证非负了（题解加了\(10*mod\)，一样的效果，但别加太多，小心超long long）。

Code

赛时Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int T,n;
int qpow(int base,int power){
	int fac=1;
	while(power){
		if(power&1) fac=fac*base%mod;
		base=base*base%mod;
		power>>=1;
	}
	return fac;
}
int mo(int A,int B){
	int t=A%B;
	if(t<0) return t+B;
	return t;
}
signed main(){
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n;
		int fac=qpow(26,n);
		int c1=qpow(24,n),c2=fac-qpow(25,n);
		//c1表示一个ab都没有，c2表示至少一个a的个数;
		cout<<mo(c1+2ll*c2%mod-fac,mod)<<endl;
	}
	return 0;
}

题解Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int T,n;
int qpow(int base,int power){
	int fac=1;
	while(power){
		if(power&1) fac=fac*base%mod;
		base=base*base%mod;
		power>>=1;
	}
	return fac;
}
signed main(){
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n;
		cout<<(qpow(26,n)-2*qpow(25,n)+qpow(24,n)+mod)%mod<<endl;
	}
	return 0;
}

T3 Game

题解的思路是通过暴力程序找规律（\(N,M\leq 10^{18}\)没规律也不正常），就不放了。

赛时思路

经过一番思考，得到结论：都按完美策略发挥的情况下，先碰到上或右板边的一方必胜。

为什么呢？因为碰到上或右板边，就只能轮流往一个方向走了。举个例子，现在棋子在第二行，该你走棋，那么你应当让他碰到上边，但是具体应该向上走，还是向右上走，就要看目前到右板边的距离的奇偶性了。总之知道了这个结论就可以了，我们继续。

要想让我们先到达板边，就要让到右和上的距离都为偶数。这样，对方走一步，我走一步，一定是我先抵达。就这样，我们得出了结论，第一步要让到右边和到上边的距离都为偶数。

具体实现见代码。

赛后思考

也有另一种思考方式：我们每走完一步，都要让棋子到上板边和右半边的距离都是偶数。这样，对方无论怎么走，我们都能重新调整到这个状态。最后就可以达到终点（距离都为\(0\)）。

Code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int t,n,m;
signed main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n>>m;
		if(n%2==1){
			if(m%2==1) cout<<"-1\n";
			else cout<<"1\n";
		}else{
			if(m%2==1) cout<<"2\n";
			else cout<<"3\n";
		}
	}
	return 0;
}