[0, 1] 区间内 n 次独立随机事件的一些问题

问题一

证明：一根1米长的绳子，随机切成 $N$ 刀，变成（$N+1$）根绳子，则最短的一根绳子长度的期望为 $\displaystyle \frac{1}{(N+1)^2}$.

证：

引理：当分成 $n$ 段时，第一段的长度至少为 $x$ 的概率为 $(1-x)^{n-1}$.

很容易理解，因为第一个人拿 $x$，后面的 $n-1$ 刀都切在 $(1-x)$.

推论：当切成 $n$ 段时，每一段的长度至少为 $x$ 的概率为 $(1-nx)^{n-1}$.

即 $P(v_{min} > x) = (1-nx)^{n-1}$

则最小值的数学期望为

$$\begin{aligned} & E(V_{min}) \\ &= \int_0^{\frac{1}{n}} v_{min}p_{min}d(v_min) \\ &= \int _0^{\frac{1}{n}} P(v_min > x)dx \\ &= \int _0^{\frac{1}{n}} (1-nx)^{n-1}dx \\&= \int_0^1\frac{1}{n} (1-t)^{n-1}dt \\&= \frac{1}{n^2} \end{aligned}$$

更一般的，分成 $n$ 段时，第 $k$ 长的长度的数学期望为：$E(v_k) = \frac{1}{n}\sum_{i=k}^n \frac{1}{i}$.

问题二

证明：对于 $n$ 个 $[0, 1]$ 之间的随机变量 $x_1,x_2,..,x_n$，第 $k$ 小的那个的期望值为 $\frac{k}{n+1}$.

证：

参见Wiki中的Order statistic，即顺序统计量，其中表明单位区间上均匀分布的顺序统计量具有属于 Beta 分布的边际分布。

进一步，均匀分布的第 $k$ 阶段统计量服从 $\beta$ 分布，即 $U_{(k)} \sim Beta(k, n+1-k)$.

已知 Beta 分布 $\beta(a,b)$ 的均值为 $\frac{a}{a+b}$，

因此第 $k$ 小的期望为 $\frac{k}{n+1}$

参考链接：

1. https://www.zhihu.com/question/30359365

2. https://www.wikiwand.com/en/Order_statistic

3. https://ksmeow.moe/earthquake_zjoi15_sol/