【概率论】5-5:负二项分布(The Negative Binomial Distribution)

title: 【概率论】5-5:负二项分布(The Negative Binomial Distribution)

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- The Negative Binomial Distribution

- The Geometric Distribution

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date: 2018-03-29 08:57:12

Abstract: 本文介绍负二项分布，几何分布的基础知识

Keywords: The Negative Binomial Distribution，The Geometric Distribution

开篇废话

到目前为止，所有的分部都是从Bernoulli 分布衍生出来的：

二项分布，nnn 次Bernoulli试验的结果中，每次试验的分布不变，结果为1的次数 XXX 的分布
超几何分布，nnn 次Bernoulli试验，每次试验分布发生改变，结果为1的次数 XXX 的分布，当试验分布变化不大的时候和二项分布结果相同
泊松分布，用来在某种特殊情况下（nnn 比较大， ppp 比较小，而 npnpnp 又不是很大的情况下）近似二项分布，当n趋近于无穷的时候等同于二项分布。

今天我们还是从二项分布出发，研究这样一个事实，对于Bernoulli过程，我们设定，当某个结果出现固定次数的时候，整个过程的数量，比如我们生产某个零件，假设每个零件的合格与否都是相互独立的，且分布相同，那么当我们生产出了五个不合格零件时，一共生产了多少合格的零件，这个数量就是一个负二项分布。

为什么叫负二项分布而不是正二项分布？

有两种说法，第一我们上面说到的例子，多半是失败到了固定次数时 XXX 的分布，另一种是站在分布的系数上来观察的，在下面我们可以看得到。

Definition and Interpretation

废话中给出的生产零件的例子就是引出定义的关键。我们来先看一个定理，描述上面过程的定理：

Theorem Sampling until a Fixed Number of Success.Suppose that an infinite sequence of Bernoulli trails with probability of success ppp are available.The number XXX of failures that occur before the rrrth success has the following p.d.f.

f(x∣r,p)={(r+x−1x)pr(1−p)xfor x=0,1,2,…0otherwise
f(x|r,p)=
\begin{cases}
\begin{pmatrix}
r+x-1\\
x
\end{pmatrix}p^r(1-p)^x&\text{for }x=0,1,2,\dots\\
0&\text{otherwise}
\end{cases}
f(x∣r,p)=⎩⎨⎧(r+x−1x)pr(1−p)x0for x=0,1,2,…otherwise

证明如下

首先我们必须分析一下这个过程，当成功的次数达到目标后停止试验，也就是说最后一次必然是成功的，不然试验不会结束，所以我们需要的是在已经进行了的 x+r−1x+r-1x+r−1 次实验中完成 r−1r-1r−1 次成功，xxx 次失败，那么从计数原理角度，概率为：

Pr(An)=(n−1r−1)pr−1(1−p)(n−1)−(r−1)p=(n−1r−1)pr(1−p)(n−r)p
\begin{aligned}
Pr(A_n)&=\begin{pmatrix}n-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r-1}(1-p)^{(n-1)-(r-1)}p\\
&=\begin{pmatrix}n-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r}(1-p)^{(n-r)}p
\end{aligned}
Pr(An)=(n−1r−1)pr−1(1−p)(n−1)−(r−1)p=(n−1r−1)pr(1−p)(n−r)p

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