LOJ#2977. 「THUSCH 2017」巧克力(斯坦纳树+随机化)

题目

题目

做法

• 考虑部分数据(颜色较少)的：

二分中位数\(mid\)，将\(v[i]=1000+(v[i]>mid)\)

具体二分操作：然后求出包含\(K\)种颜色的联通快最小的权值和，判断该权值和是否满足中位数为\(mid\)，从而调整范围

其中求权值和显然可以用斯坦纳树解决

• 正解：

我们每次随机把颜色映射到\([0,K)\)中去，每次得到的结果正确率就为答案联通块的离散颜色正好一一对应的概率：\(\frac{K!}{K^K}\)

随机\(233\)次，有\(99\%\)以上的正确率

Code

#include<bits/stdc++.h>
#include<queue>
typedef int LL;
const LL dx[]={0,-1,0,1,0},dy[]={0,0,1,0,-1};
const LL maxn=7e4+9,inf=1e8;
inline LL Read(){
    LL x=0,f=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    }
    return x*f;
}
std::queue<LL> que;
LL n,m,T,K,C,tot;
LL f[maxn][109],c[maxn],sta[maxn],d[maxn][2],a[maxn],pos[255][255],v[maxn],hs[maxn];
inline bool Ok(LL x,LL y){
	return x>=1 && x<=n && y>=1 && y<=m;
}
inline void Spfa(LL bit){
	for(LL i=1;i<=tot;++i) if(c[i]!=-1) que.push(i);
	while(que.size()){
		LL now(que.front()); que.pop();
		LL x(d[now][0]),y(d[now][1]);
		for(LL i=1;i<=4;++i){
			LL xx(x+dx[i]),yy(y+dy[i]),to(pos[xx][yy]);
			if(!Ok(xx,yy) || c[to]==-1) continue;
			if(f[to][bit]>f[now][bit]+a[to]){
				f[to][bit]=f[now][bit]+a[to];
				que.push(to);
			}
		}
	}
}
inline LL Solve(LL up){
	for(LL i=0;i<up;++i)
	    for(LL j=1;j<=tot;++j)
	        f[j][i]=inf;
	for(LL i=1;i<=tot;++i) if(c[sta[i]]!=-1) f[i][1<<hs[c[i]]]=a[i];
	for(LL bit=1;bit<up;++bit){
		for(LL i=1;i<=tot;++i){
			LL x(i);
			if(c[x]==-1) continue;
			for(LL bit1=(bit-1)&bit;bit1;bit1=(bit1-1)&bit)
				f[x][bit]=std::min(f[x][bit],f[x][bit1]+f[x][bit-bit1]-a[x]);
		}
		Spfa(bit);
	}
	LL ans(inf);
	for(LL i=1;i<=tot;++i) ans=std::min(ans,f[i][up-1]);
	return ans;
}
int main(){
	srand(time(NULL));
	T=Read();
	while(T--){
		n=Read(); m=Read(); K=Read(); tot=0;
		sta[0]=0;
		C=0;
		for(LL i=1;i<=n;++i)
		    for(LL j=1;j<=m;++j){
				pos[i][j]=++tot;
				d[tot][0]=i; d[tot][1]=j;
			}
		for(LL i=1,now=0;i<=n;++i)
		    for(LL j=1;j<=m;++j){
		    	LL col(Read());
				c[++now]=col;//col
				C=std::max(C,col);
		    }
		for(LL i=1,now=0;i<=n;++i)
		    for(LL j=1;j<=m;++j)
		        v[++now]=Read();//val
	    LL up(1<<K),ans1(inf),ans2(inf);
	    for(LL i=1;i<=233;++i){
	    	for(LL j=1;j<=C;++j) hs[j]=rand()%K;
	    	LL l(0),r(1000000),a1(inf),a2(inf);
	    	while(l<=r){
	    		LL mid(l+r>>1);
	    		for(LL i=1;i<=tot;++i) a[i]=(c[i]==-1?inf:1000+(v[i]>mid));
	    		LL now(Solve(up));
	    		if(now==inf) break;
	    		a1=now/1000;
				LL small(a1-(now-a1*1000));
	    		if(small>=(a1+1>>1)){
	    			a2=mid; r=mid-1;
				}else l=mid+1;
			}
			if(a1<ans1 || (a1==ans1 && a2<ans2)){
				ans1=a1; ans2=a2;
			}
		}
		if(ans1==-1) puts("-1 -1");
		else printf("%d %d\n",ans1,ans2);
	}
	return 0;
}