Codevs 1200 同余方程 2012年NOIP全国联赛提高组

1200 同余方程 2012年NOIP全国联赛提高组

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题目等级 : 钻石 Diamond

题目描述 Description

求关于 x 同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

输入描述 Input Description

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用 一个 空格隔开。

输出描述 Output Description

输出只有一行包含一个正整数x0，即最小正整数解，输入数据保证一定有解。

样例输入 Sample Input

3 10

样例输出 Sample Output

7

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据范围】

对于 40% 的数据， 2 ≤b≤ 1,000 ；

对于 60% 的数据， 2 ≤b≤ 50,000,000

对于 100% 的数据， 2 ≤a, b≤ 2,000,000,000

分类标签 Tags

欧几里德定理 数论 大陆地区 NOIP全国联赛提高组 2012年

/*
求关于x的模线性方程
ax≡1(mod b)的最小正整数解.
我们可以转化求不定方程ax+by=1的根来求.
若方程有整数解 则gcd(a,b)=1(即 1|gcd(a,b)).
求出一组解(x0,y0).
然后特殊地此题gcd(a,b)=1.
so x+b/gcd(a,b)等价于x+b.
又因为是mod b的剩余系中.
so ans=(x+b)%b.
观察此式 可知x是a关于mod y剩余系下的逆元.
若b为质数 则由费马小定理
a^(p-1)=1,可知a^(p-2)为逆元.
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL x,y;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}
void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b) {x=1,y=0;return ;}
    else ex_gcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;
}
int main()
{
    LL a,b;
    a=read(),b=read();
    ex_gcd(a,b,x,y);
    cout<<(x+b)%b;
    return 0;
}

/*
看到网上有这种做法.
挺巧妙的.
由欧拉函数性质:a^phi(b)%b=1.
so a*a^(phi(b)-1)%b=1.
so 该方程的解为x=a^(phi(b)-1).
so 在mod b剩余系下
最小正整数解为x=a^(phi(b)-1)%b.
然后枚举因子求phi(b),快速幂求a^(phi(b)-1)%b.
特殊地若b为质数
由欧拉函数性质phi(b)=b-1.
即求a^(b-2)%b.(和费马小定理的结论一样....)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL x,y,s,ans,a,b;
inline LL read()
{
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*f;
}
void eu()
{
    LL n=b;
    ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(!(n%i))
        {
            while(!(n%i)) n/=i;
            ans=ans/i*(i-1);
        }
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
}
LL mi(LL a,LL p)
{
    LL tot=1;
    while(p)
    {
        if(p&1) tot=tot*a%b;
        a=a*a%b;
        p>>=1;
    }
    return tot;
}
int main()
{
    a=read(),b=read();
    eu();
    ans=mi(a,ans-1)%b;
    cout<<ans;
    return 0;
}