用一个N点复序列的FFT同时计算两个N点实序列离散傅里叶变换

一、功能

用一个\(N\)点复序列快速傅立叶变换算法来同时计算两个\(N\)点实序列的离散傅立叶变换。

二、方法简介

假设\(x(n)\)与\(y(n)\)都是长度为\(N\)的实序列，为计算其离散傅立叶变换\(X(k)\)与\(Y(k)\)，我们将\(x(n)\)与\(y(n)\)组合成一个复数序列\(h(n)\)，

\[h(n) = x(n) + j y(n)
\]

通过FFT 运算可以获得\(h(n)\)的离散傅立叶变换\(H(k)\)，\(H(k)\)可表示为

\[H(k) = X(k) + j Y(k)
\]

根据求得的\(H(k)\)，并利用DFT的奇偶共辄性，我们得到\(X(k)\)和\(Y(k)\)为

\[\left\{\begin{matrix}\begin{align*}X(k)&=\frac{1}{2}[H(k)+H^{*}(N-k)]\\ Y(k)&=-\frac{j}{2}[H(k)-H^{*}(N-k)]\end{align*}\end{matrix}\right.
\]

三、使用方法

/************************************
	x		----长度为n。开始时存放要变换的实数据，最后存放变换结果的前n/2+1个值，
				其存储顺序为[Re(0),Re(1),...,Re(n/2),Im(n/2-1),...,Im(1)]。
				其中Re(0)=X(0),Re(n/2)=X(n/2)。根据X(k)的共轭对称性，很容易写
				出后半部分的值。
	y		----长度为n。开始时存放要变换的实数据，最后存放变换结果的前n/2+1个值，
				其存储顺序为[Re(0),Re(1),...,Re(n/2),Im(n/2-1),...,Im(1)]。
				其中Re(0)=Y(0),Re(n/2)=Y(n/2)。根据Y(k)的共轭对称性，很容易写
				出后半部分的值。
	n		----数据长度，必须是2的整数次幂，即n=2^m。
************************************/
#include "fft.c"

void r2fft(double *x, double *y int n)
{
	int i, n1;
	double tr, ti;
	n1 = n / 2;
	fft(x, y, n, 1);
	for(i = 1; i < n1; i++) {
		tr = (x[i] + x[n - i]) / 2;
		ti = (y[i] - y[n - i]) / 2;
		y[i] = (y[n - i] + y[i]) / 2;
		y[n - i] = (x[n - i] - x[i]) / 2;
		x[i] = tr;
		x[n - i] = ti;
	}
}

fft.c文件参见快速傅里叶变换