Dijkstra算法与堆（C++）

Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题，通过逐个收录顶点来确保已收录顶点的路径长度为最短。

    

图片来自陈越姥姥的数据结构课程：https://mooc.study.163.com/learn/1000033001?tid=1000044001#/learn/content?type=detail&id=1000112011&cid=1000126096

Dijkstra算法的时间复杂度，取决于“V=未收录顶点中dist最小者”的算法。这一步可以用线性查找实现，也可以用最小堆实现。

线性查找的算法就不用多说了。最小堆的算法有一个问题：最小堆是以未收录顶点的dist作为key来建立的，但是每一轮循环都会把部分顶点的dist值改变，也就会破坏最小堆的有序性，怎么解决？

显然应该在每一轮循环中把最小堆重新调整成有序。现在问题又来了：

1. 复杂度还合算吗？

建堆的时间复杂度是O(N)，pop一个元素的时间复杂度是O(logN)；线性查找的时间复杂度也是O(N)。建堆还额外使用了O(N)的空间。

看似一点都不合算。但我又想到每一轮循环中的建堆操作，很可能只需要调整少量元素，而对于其他元素，只需要进行访问。然而线性查找连调整都不需要，只有交换。再然而，循环过程中堆会变小，使建堆的时间复杂度中的常数变小。至于到底哪个更快，还得实践出真知。

所以只能从消除建堆操作入手。这样又是另一种算法了，参考资料[1]给出了详细说明，这种算法中每一轮的时间复杂度为O(logN)，总时间复杂度为O(|E|log|V|)（V为顶点，E为边）。

2. 如何利用STL进行堆操作？

STL <algorithm> 头文件提供了 std::is_heap 、 std::is_heap_until （这两个需要C++11）、 std::make_heap 、 std::push_heap 、 std::pop_heap 和 std::sort_heap 等函数模板用于堆操作。

现有一道单源最短路径的题：https://pintia.cn/problem-sets/994805342720868352/problems/994805523835109376，Dijkstra算法的变形而已。

以下为实现代码。三种算法用宏定义选择，已选择优先队列算法。

 #include <iostream>
 #include <limits>
 #include <vector>
 #include <queue>
 #include <algorithm>
 #include <utility>
 #include <functional>

 //#define LINEAR
 //#define HEAP
 #define QUEUE

 struct Path
 {
     Path() = default;
     Path(int _city, int _dist)
         : city(_city), dist(_dist)
     {
         ;
     }
     int city;
     int dist;
     bool operator<(const Path& _rhs) const
     {
         return dist < _rhs.dist;
     }
     bool operator>(const Path& _rhs) const
     {
         return dist > _rhs.dist;
     }
 };

 struct City
 {
     std::vector<Path> paths;
     int team;
     int dist = std::numeric_limits<int>::max();
     bool collected = false;
     int team_max = ;
     int dist_count = ;
 };

 #ifdef HEAP
 class Comparator
 {
 public:
     Comparator(std::vector<City>& _cities)
         : cities_(&_cities)
     {
         ;
     }
     bool operator()(int _lhs, int _rhs)
     {
         return (*cities_)[_lhs].dist > (*cities_)[_rhs].dist;
     }
 private:
     std::vector<City>* cities_;
 };
 #endif

 int main()
 {
     int n, m, src, dst;
     std::cin >> n >> m >> src >> dst;
     std::vector<City> cities(n);
     for (auto& city : cities)
         std::cin >> city.team;
     for (int cnt = ; cnt != m; ++cnt)
     {
         int src, dst, dist;
         std::cin >> src >> dst >> dist;
         cities[src].paths.emplace_back(dst, dist);
         cities[dst].paths.emplace_back(src, dist);
     }

     {
         auto& city = cities[src];
         cities[src].collected = true;
         cities[src].dist = ;
         cities[src].dist_count = ;
         cities[src].team_max = cities[src].team;
     }
 #ifdef QUEUE
     std::priority_queue<Path, std::vector<Path>, std::greater<Path>> queue;
 #endif
     for (const auto& path : cities[src].paths)
     {
         cities[path.city].dist = path.dist;
         cities[path.city].dist_count = ;
         cities[path.city].team_max = cities[src].team + cities[path.city].team;
 #ifdef QUEUE
         queue.emplace(path.city, path.dist);
 #endif
     }

 #ifdef HEAP
     std::vector<int> heap;
     heap.reserve(n - );
     for (int i = ; i != n; ++i)
         if (i != src)
             heap.push_back(i);
     Comparator comp(cities);
     std::make_heap(heap.begin(), heap.end(), comp);
 #endif

     while ()
     {
 #ifdef LINEAR
         int min_dist = std::numeric_limits<int>::max();
         int index = -;
         for (int i = ; i != n; ++i)
             if (!cities[i].collected && cities[i].dist < min_dist)
                 min_dist = cities[i].dist, index = i;
         if (index == -)
             break;
         auto& city = cities[index];
 #endif
 #ifdef HEAP
         if (heap.empty())
             break;
         auto& city = cities[heap[]];
 #endif
 #ifdef QUEUE
         if (queue.empty())
             break;
         Path temp;
         while ()
         {
             temp = queue.top();
             queue.pop();
             if (!cities[temp.city].collected)
                 break;
         }
         auto& city = cities[temp.city];
 #endif
         city.collected = true;
         for (const auto& path : city.paths)
         {
             if (!cities[path.city].collected)
             {
                 auto& dest = cities[path.city];
                 if (city.dist + path.dist < cities[path.city].dist)
                 {
                     dest.dist = city.dist + path.dist;
                     dest.dist_count = city.dist_count;
                     dest.team_max = city.team_max + dest.team;
                 }
                 else if (city.dist + path.dist == cities[path.city].dist)
                 {
                     dest.dist = city.dist + path.dist;
                     dest.dist_count += city.dist_count;
                     if (city.team_max + dest.team > dest.team_max)
                         dest.team_max = city.team_max + dest.team;
                 }
 #ifdef QUEUE
                 queue.emplace(path.city, dest.dist);
 #endif
             }
         }
 #ifdef LINEAR
         if (index == dst)
             break;
 #endif
 #ifdef HEAP
         if (heap[] == dst)
             break;
         std::pop_heap(heap.begin(), heap.end(), comp);
         heap.pop_back();
         std::make_heap(heap.begin(), heap.end(), comp);
 #endif
 #ifdef QUEUE
         if (temp.city == dst)
             break;
 #endif
     }

     {
         auto& city = cities[dst];
         std::cout << cities[dst].dist_count << ' ' << cities[dst].team_max;
     }

     return ;
 }

测试结果：

线性查找版

最小堆版

优先队列版

平台显示线性查找版的时间6ms，内存512KB；最小堆版的时间5ms，内存512KB；优先队列版的时间3ms，内存424KB。我认为时间都太短了，数据量不够大，不足以说明问题。

如果仅从理论上分析的话，我认为优先队列的算法是最优的。

参考资料：

[1] dijkstra + heap 优化 https://blog.csdn.net/sentimental_dog/article/details/51955765