洛谷 P6218 [USACO06NOV] Round Numbers S

题目描述

如果一个正整数的二进制表示中，$0$ 的数目不小于 $1$ 的数目，那么它就被称为「圆数」。

例如，$9$ 的二进制表示为 $10011001$，其中有 $2$ 个 $0$ 与 $2$ 个 $1$。因此，$9$ 是一个「圆数」。

请你计算，区间 $[l,r]$ 中有多少个「圆数」。

输入格式

一行，两个整数 $l,r$。

输出格式

一行，一个整数，表示区间 $[l,r]$中「圆数」的个数。

输入输出样例

输入 #1

2 12

输出 #1

6

说明/提示

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le l,r\le 2\times 10^9$。

【样例说明】

区间 $[2,12]$ 中共有 $6$ 个「圆数」，分别为 $2,4,8,9,10,12$

分析

比较套路的数位 $DP$

数位 $DP$ 的实质就是换一种暴力枚举的方式，使得新的枚举方式满足 $DP$ 的性质，然后记忆化就可以了。

首先，我们要进行 $DP$ 的话，肯定要定义一个 $f$ 数组存储我们计算过的值

因为这道题和数位有关，所以第一位我们要定义当前遍历到了第几位

而且我们还要判断二进制下 $0$ 的数量和 $1$ 的数量

所以，我们设 $f[i][j][k]$ 为当前遍历到第 $i$ 位,二进制下 $1$ 的数量为 $j$，$0$ 的数量为 $j$ 的数的个数

主函数我们用差分的思想搞一下即可

signed main(){

	memset(f,-1,sizeof(f));

	int l,r;

	scanf("%lld%lld",&l,&r);

	printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-1));

	return 0;

}

然后是 $solve$ 函数

这里的 $cnt$ 是用来记录当前的数在二进制下有多少位，$num$ 数组是用来记录这个数每一二进制位上的数字的

这个函数的变量只有一个 $xx$, 返回值是 $0$ 到 $xx$ 之间圆数的个数

int solve(int xx){

	memset(num,0,sizeof(num));

	cnt=0;

	while(xx){

		num[++cnt]=xx&1ll;

		xx>>=1ll;

	}

	return dfs(cnt,0,0,1,1);

}

下面的 $dfs$ 函数是最重要的部分

int dfs(int ws,int tot1,int tot0,bool lim,bool zer){

	if(ws==0) {

		if(tot1<=tot0) return 1;

		return 0;

	}

	if(lim==0 && zer==0 && f[ws][tot1][tot0]!=-1) return f[ws][tot1][tot0];

	int up=1,ans=0;

	if(lim) up=num[ws];

	for(int i=0;i<=up;i++){

		if(zer==1 && i==0) ans+=dfs(ws-1,0,0,lim && i==up,1);

		else ans+=dfs(ws-1,tot1+(i==1),tot0+(i==0),lim && i==up,0);

	}

	if(lim==0 && zer==0)f[ws][tot1][tot0]=ans;

	return ans;

}

它的五个参数分别为:当前处理到第 $ws$ 位

$0$ 的个数 $tot0$ ,$1$ 的个数 $tot1$

$lim$ 特判前一位是否为范围内的最大值

$zer$ 记录有没有前导零

终止条件就是处理到最后一位

具体的边界看一下下面的模板

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

int f[60][60][60],num[55],cnt,sum[55];

const int mod=1e7+7;

int dfs(int ws,int tot1,int tot0,bool lim,bool zer){

	if(ws==0) {

		if(tot1<=tot0) return 1;

		return 0;

	}

	if(lim==0 && zer==0 && f[ws][tot1][tot0]!=-1) return f[ws][tot1][tot0];

	int up=1,ans=0;

	if(lim) up=num[ws];

	for(int i=0;i<=up;i++){

		if(zer==1 && i==0) ans+=dfs(ws-1,0,0,lim && i==up,1);

		else ans+=dfs(ws-1,tot1+(i==1),tot0+(i==0),lim && i==up,0);

	}

	if(lim==0 && zer==0)f[ws][tot1][tot0]=ans;

	return ans;

}

int solve(int xx){

	memset(num,0,sizeof(num));

	cnt=0;

	while(xx){

		num[++cnt]=xx&1ll;

		xx>>=1ll;

	}

	return dfs(cnt,0,0,1,1);

}

signed main(){

	memset(f,-1,sizeof(f));

	int l,r;

	scanf("%lld%lld",&l,&r);

	printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-1));

	return 0;

}