题目大意

从 \((0,0)\) 开始,每次只可走上下左右一个单位长度,可走重复路,求第 \(T\) 步正好走到 \((n,m)\) 的方案数。

答案要求对 \(MOD\) 取模,\(MOD\) 保证是几个不同质数的乘积。

数据范围

\(1\leq T\leq 100000;-T\leq n,m\leq T;1\leq MOD\leq 10^9+7\)

样例输入

4 10

2 2

样例输出

6

思路

枚举向左走了 \(l\) 步,则向右走了 \(r\) 步,向上走了 \(u\) 步,向下走了 \(d\) 步,依据高考数学中的平均分组问题,答案就是:

\[\frac{A_T^T}{A_l^l\ A_r^r\ A_u^u\ A_d^d}=C_T^l\ C_{T-l}^r\ C_{T-l-r}^u
\]

但是这个式子比较繁琐不好计算,但是聚聚 \(\texttt{skyh}\) 给出了一个简单的式子:

\[C_T^{\frac{T-n-m}{2}}\ C_T^{\frac{T-\vert n-m\vert}{2}}
\]

问了数奥的同学该式子的正确性,请大家学习

显然使用 \(Lucas\) 定理求解。

噫,好,我会了!

然后一顿怒操作发现样例输出 \(0\)。这是因为在模 \(10\) 的意义下样例是没有逆元的。所以我们需要将模数分解质因子,在每一个质因子下的模意义下求出答案,最后用 \(CRT\) 合并答案即可。

代码

数论全家桶

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int T,Mod,N,M;
int res[maxn],fac[maxn],inv[maxn]; inline int read(){
int x=0;bool fopt=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')fopt=0;
for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;
return fopt?x:-x;
} void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b)return x=1,y=0,void();
exgcd(b,a%b,x,y);
int z=x;x=y;y=z-(a/b)*y;
} inline int qpow(int x,int b,int p){
int ans=1,base=x;
while(b){
if(b&1)ans=ans*base%p;
base=base*base%p;
b>>=1;
}
return ans;
} bool Miller_Rabin(int n){
if(n==2)
return true;
for(int i=1;i<=30;i++){
int a=rand()%(n-2)+2;
if(qpow(a,n,n)!=a)
return false;
}
return true;
} int v[maxn];
inline void Get(int x){
int u=sqrt(x);
for(int i=2;i<=u;i++){
if(x%i!=0)continue;
if(Miller_Rabin(i)){
v[++v[0]]=i;
x/=i;
}
}
if(x>1)v[++v[0]]=x;
} inline int C(int n,int m,int p){
if(n<m)return 0;
if(!m||n==m)return 1;
return fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;
} int Lucas(int n,int m,int p){
if(n<m)return 0;
if(!m)return 1;
return C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
} inline int CRT(int n){
int M=1,ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
M*=v[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
int m=M/v[i];
int x=0,y=0;
exgcd(m,v[i],x,y);
ans+=res[i]*m*(x<0?x+v[i]:x);
}
return ans%M;
} signed main(){
srand(time(0));
T=read();Mod=read();N=read();M=read();
Get(Mod);
for(int i=1;i<=v[0];i++){
int p=v[i];
fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int j=2;j<=T;j++)
inv[j]=(p-p/j)*inv[p%j]%p;
for(int j=2;j<=T;j++){
inv[j]=inv[j-1]*inv[j]%p;
fac[j]=fac[j-1]*j%p;
}
res[i]=Lucas(T,(T-N-M)/2,p)*Lucas(T,(T-abs(N-M))/2,p)%p;
}
printf("%lld\n",CRT(v[0]));
return 0;
}

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