[note]左偏树(可并堆)

左偏树(可并堆)https://www.luogu.org/problemnew/show/P3377

题目描述

一开始有N个小根堆，每个堆包含且仅包含一个数。接下来需要支持两种操作：

操作1： 1 x y 将第x个数和第y个数所在的小根堆合并（若第x或第y个数已经被删除或第x和第y个数在用一个堆内，则无视此操作）

操作2： 2 x 输出第x个数所在的堆最小数，并将其删除（若第x个数已经被删除，则输出-1并无视删除操作）

输入格式：

第一行包含两个正整数N、M，分别表示一开始小根堆的个数和接下来操作的个数。

第二行包含N个正整数，其中第i个正整数表示第i个小根堆初始时包含且仅包含的数。

接下来M行每行2个或3个正整数，表示一条操作，格式如下：

操作1 ： 1 x y

操作2 ： 2 x

输出格式：

输出包含若干行整数，分别依次对应每一个操作2所得的结果。

输入样例:

5 5

1 5 4 2 3

1 1 5

1 2 5

2 2

1 4 2

2 2

输出样例:

1

2

说明

当堆里有多个最小值时，优先删除原序列的靠前的，否则会影响后续操作1导致WA。

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=10，M<=10

对于70%的数据：N<=1000，M<=1000

对于100%的数据：N<=100000，M<=100000

样例说明：

初始状态下，五个小根堆分别为:{1}、{5}、{4}、{2}、{3}。

第一次操作，将第1个数所在的小根堆与第5个数所在的小根堆合并，故变为四个小根堆：{1,3}、{5}、{4}、{2}。

第二次操作，将第2个数所在的小根堆与第5个数所在的小根堆合并，故变为三个小根堆：{1,3,5}、{4}、{2}。

第三次操作，将第2个数所在的小根堆的最小值输出并删除，故输出1，第一个数被删除，三个小根堆为：{3,5}、{4}、{2}。

第四次操作，将第4个数所在的小根堆与第2个数所在的小根堆合并，故变为两个小根堆：{2,3,5}、{4}。

第五次操作，将第2个数所在的小根堆的最小值输出并删除，故输出2，第四个数被删除，两个小根堆为：{3,5}、{4}。

故输出依次为1、2。

给大家介绍一篇左偏树讲解

以下摘自国集2005论文集

左偏树(Leftist Tree)
是一种可并堆的实现。左偏树是一棵二叉树，它的节点除了和二叉树的节点一样具有左右子树指针外，还有两个属性：点权(键值)和距离(dist).
左偏树满足下面两条基本性质：
[性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值.
这条性质又叫堆性质。符合该性质的树是堆有序的。
有了性质1，我们可以知道左偏树的根节点是整棵树的最小节点，于是我们可以在O(1) 的时间内完成取最小节点操作。

[性质2] 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离.
即dist(left(i))≥dist(right(i))  这条性质称为左偏性质。
性质2是为了使我们可以以更小的代价在优先队列的其它两个基本操作（插入节点、删除最小节点）进行后维持堆性质。
这两条性质是对每一个节点而言的，因此可以简单地从中得出，左偏树的左右子树都是左偏树。
由这两条性质，我们可以得出左偏树的定义：左偏树是具有左偏性质的堆有序二叉树。

习惯上常用根节点序号表示左偏树

#define RG register
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
inline int read()
{
	RG int x=0,w=1;RG char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*w;
}
int n,m;
int num[N],ls[N],rs[N],root[N],dist[N];//num[]为每个点的值,ls[]和rs[]为左右儿子,root[]表示该节点所在堆的堆顶编号(左偏树根节点),dist[i]表示节点i节点i到它的后代中最近的外节点所经过的边数[某节点称为外节点，当且仅当该节点的左子树或右子树为空].
bool del[N];//判断点是否被删除
int find(int x){return x==root[x]?x:root[x]=find(root[x]);}//并查集找根节点
int Merge(int a,int b)
{
	if(!a||!b)return a+b;//若某一子树为空,返回另一棵子树
	if(num[a]>num[b]||(num[a]==num[b]&&a>b))swap(a,b);//维护小根堆[权值相同,序号优先]
	rs[a]=Merge(rs[a],b);//每次将a的右子树与b合并
	if(dist[ls[a]]<dist[rs[b]])swap(ls[a],rs[a]);//交换左右儿子[保证左偏]
	dist[a]=dist[rs[a]]+1;
	return a;
}
int main()
{
	n=read();
	m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)num[i]=read(),root[i]=i;
	while(m--)
	{
		int f=read();
		if(f==1)
		{
			int a=read(),b=read();
			int x=find(a),y=find(b);
			if(x==y||del[a]||del[b])continue;
			root[x]=root[y]=Merge(x,y);//修改根节点
		}
		else
		{
			int x=read();
			if(del[x]){printf("-1\n");continue;}
			x=find(x);
			printf("%d\n",num[x]);
			del[x]=true;
			root[x]=Merge(ls[x],rs[x]);//修改根节点
			if(ls[x]==root[x])root[ls[x]]=ls[x];//将根节点的根置为自己[防止find()递归出错]
			if(rs[x]==root[x])root[rs[x]]=rs[x];//将根节点的根置为自己
			ls[x]=rs[x]=0;//清空被删除点的左右儿子
		}
	}
	return 0;
}