UVa 10288 - Coupons（数学期望 + 递推）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1229

题意：

大街上到处在卖彩票，一元钱一张。购买撕开它上面的锡箔，你会看到一个漂亮的图案。
图案有n种，如果你收集到所有n（n≤33）种彩票，就可以得大奖。
请问，在平均情况下，需要买多少张彩票才能得到大奖呢？如n=5时答案为137/12。

分析：

已有k个图案，令s=k/n，拿一个新的需要t次的概率：(s^(t-1))(1-s)；
因此平均需要的次数为(1-s)(1 + 2s + 3s^2 + 4s^3 + …) = (1-s)E，
而sE = s + 2s^2 + 3s^3 + … = E-(1+s+s^2+…)，移项得(1-s)E = 1+s+s^2+… = 1/(1-s) = n/(n-k)
换句话说，已有k个图案：平均拿n/(n-k)次就可多搜集一个，所以总次数为：n(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+…+1/2+1/1)

代码：

 import java.io.*;
 import java.util.*;

 public class Main {
     Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));

     long gcd(long a, long b) {
         return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
     }

     long lcm(long a, long b) {
         return a / gcd(a,b) * b;
     }

     int len(long v) {
         int res = 0;
         do { v /= 10;  res++; } while(v > 0);
         return res;
     }

     void printCh(char c, int x) {
         while(x --> 0) System.out.print(c);
     }

     void output(long a, long b, long c) {
         if(b == 0) { System.out.println(a);  return; }
         printCh(' ', len(a)+1);  System.out.println(b);
         System.out.print(a + " ");  printCh('-', len(c)); System.out.println();
         printCh(' ', len(a)+1);  System.out.println(c);
     }

     void MAIN() {
         while(cin.hasNext()) {
             int n = cin.nextInt();
             long b = 0, c = 1;
             for(int i = 2; i <= n; i++) c = lcm(c, i);
             for(int i = 0; i < n; i++) b += c / (n-i) * n;
             output(b/c, b%c/gcd(b%c,c), c/gcd(b%c,c));
         }
     }

     public static void main(String args[]) { new Main().MAIN(); }
 }