《A First Course in Probability》-chaper8-极限定理-切比雪夫不等式

基于对概率问题的抽象化，通过期望、方差、随机变量X及其概率，我们想要通过几个量推出另外几个量的特征，笼统的来说，极限定理起到的作用便在于此

切比雪夫不等式：

在证明切比雪夫不等式之前，我们先要完成对马尔可夫不等式的证明。

马尔可夫不等式：

证明：

这里可能有人会问，为什么X和a必须取非负值呢？这里只要是为了满足第一个∵那里的不等式。

切比雪夫不等式：

证明：

可以看到，切比雪夫带给我们最直观的意义就是，在知道随机变量X的期望和方差的同时，利用它可以导出概率的上界。