转自 z55250825 的几篇关于FFT的博文（三）

题目大意：给出n个数qi，定义 Fj为

      

令 Ei=Fi/qi，求Ei。

 

   其实这道题就是看到有FFT模板才觉得有必要学一下的...

   所以实际上就是已经知道题解了... = =。

   

所以问题就是求这两个多项式相乘的系数。

  这里咱卷积不太熟悉，所以咱们来证明一下这个结论显然还是不错的。

  首先咱们设 f(x)(k) 表示f(x)的 第k项的系数（就是 x^k-1 那一项）

  那么首先了解下卷积，如果f,g是一个序列（这指的是其系数构成的序列），那么卷积S也是一个序列

  咱们有：

     S(k)=∑f(x)(i)*g(x)(k-i)

  这个就是卷积，感觉会不会和FFT很熟悉额？

  其实多项式乘法的结果的第K项其实就是 乘上去的两个多项式的 系数的卷积S(k)。

  那么咱们就有卷积定理：

  A 卷 B = DFT^-1(DFT(A)*DFT(B))，其中DFT就是离散化傅里叶变换，DFT^-1即逆向的。

  然后咱们证明 Ej就是 f(x)和g(x)系数的卷积 S(j)

  即证明 ∑f(x)(i)*g(x)(j-i)=Ej=∑qi/(i-j)^2-∑qi/(i-j)^2

  左边弄开来：

  对于S（k），当i=k的时候，g的那一边为n,g(x)(n)=0，为0。

                      当i<k的时候，g的那一边为大于n的，则咱们设的g(x)(n+k-i)>0，而这里的i是<k的qi会算进来。

                      当i>k的时候，g的那一边为小于n的，而咱们设的g(x)(n+k-i)<0，而这里的i是>k的qi会算进来。

                      这些都是符合的。然后咱们还得证明越界的话会发生什么，假设i>n了，它是0，然后i<0，它也是0，所以越界只会使那个变成0，所以这个是正确的，然后实际上咱们只需要 n+1~2n的卷积即可。

                      然后还有系数，g(n+k-i)的系数是 1/(n+k-i-n)^2，突然发现竟然就是 1/(k-i)^2【这里的正确性咱还是有的迷糊...待修改】

 

 然后弄清楚之后就可以直接上模板了。

 这题的卷积还值得再品味一下。

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PS:这题有更直观的解法：

设A[i]=q[i],B[i]=1/(i^2)。

设C[i]=sigma(A[j]*B[i-j]),D[i]=sigma(A[n-j-1]*B[i-j])。

那么所求的E[i]=C[i]-D[i]。

不难发现C[i]已经是标准的卷积形式了，用FFT即可。

对于D[i],令A'[i]=A[n-i-1]，那么D[i]=sigma(A[j]*B[i-j])，于是也用FFT即可。

program bzoj3527;

type cp=record x,y:double;end;

     arr=array[0..1 shl 18]of cp;

 

var a,b,tt,w:arr;

    wt:cp;

    m,n:longint;

 

operator *(var a,b:cp)c:cp;

begin c.x:=a.x*b.x-a.y*b.y;c.y:=a.x*b.y+a.y*b.x;end;

operator +(var a,b:cp)c:cp;

begin c.x:=a.x+b.x;c.y:=a.y+b.y;end;

operator -(var a,b:cp)c:cp;

begin c.x:=a.x-b.x;c.y:=a.y-b.y;end;

 

procedure dft(var a:arr;s,t:longint);

var i,p:longint;

begin

  if n shr t=1 then exit;

  dft(a,s,t+1);

  dft(a,s+(1 shl t),t+1);

  for i:=0 to n shr (t+1)-1 do

   begin

     p:=i shl (t+1)+s;

     wt:=w[i shl t]*a[p+1 shl t];

     tt[i]:=a[p]+wt;

     tt[i+n shr (t+1)]:=a[p]-wt;

   end;

  for i:=0 to n shr t-1 do a[i shl t+s]:=tt[i];

end;

 

procedure init;

var i:longint;

    ans:double;

begin

  read(n);

  for i:=0 to n-1 do read(a[i].x);

  for i:=0 to n-1 do b[i].x:=(-1.0/(n-i))/(n-i);

  b[n].x:=0;

  for i:=1 to n do b[n+i].x:=(1.0/i)/i;

  m:=1;

  while m<(n shl 1+1) do m:=m shl 1;

  i:=n;n:=m;m:=i;

  for i:=0 to n-1 do w[i].x:=cos(pi*2*i/n);

  for i:=0 to n-1 do w[i].y:=sin(pi*2*i/n);

  dft(a,0,0);dft(b,0,0);

  for i:=0 to n-1 do a[i]:=a[i]*b[i];

  for i:=0 to n-1 do w[i].y:=-w[i].y;

  dft(a,0,0);

  for i:=m to m shl 1-1 do

   begin

     ans:=a[i].x/n;

     writeln(ans:0:3);

   end;

end;

 

begin

  init;

end.

ydc

……
但凡a[i]=sigma{b[j]*c[i-j]}的递推都能用FFT搞
但凡a[i]=sigma{a[j]*b[i-j}的递推都能用分治+FFT算贡献搞
所以这题没什么好说的，牢记形式就行了